八上第21讲 《一次函数》必考知识点(下)
写在前面
本讲，我们重点研究一次函数与一元一次方程，不等式，二元一次方程组的问题，帮助同学们解决一些典型问题．
一、一次函数与二元一次方程
1、一般地，一次函数y＝kx＋b图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的一个解；
2、以二元一次方程 kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上．
3、一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．
二、一次函数、一元一次方程、一元一次不等式
1、已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值；
2、当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围．
一、一次函数与二元一次方程
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例1： 已知一次函数y＝3x＋m的图像与一次函数y＝4－2x的图像交点在x轴上，求m的值． 分析： 本题中，y＝4－2x的函数表达式确定，则其与x轴的交点坐标确定，因此，只需求出该点坐标，代入至y＝3x＋m中，即可求出m的值． 解答： ∵令y＝4－2x＝0，x＝2， ∴交点(2，0)， 把(2，0)代入y＝3x＋m得， 3×2＋m＝0，m＝－6． |
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例2：  分析： 显然，两直线与y轴的交点分别是(0，－3)，(0，2)，因此只可能交在x轴上，分别算出两直线与x轴交点坐标，得到a与b的比值． 解答： |
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例3： 若以二元一次方程2x－y＋b＝0的解为坐标的点(x，y)都在函数y＝2x－b＋1的图像上，则常数b＝_______． 分析： 由题意可知，把二元一次方程2x－y＋b＝0经过变形，写成一次函数的形式，一定与函数y＝2x－b＋1是一致的，从而可以求b． 解答： 2x－y＋b＝0，y＝2x＋b， ∴2x＋b＝2x－b＋1 －b＋1＝b，解得b＝0.5． |
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例4： 已知一次函数y＝2x＋1的图像和一次函数y＝3x＋b的图像的交点在第三象限，求b的取值范围． 分析： 本题中，需要将两个一次函数联立方程组，用含b的代数式表示交点坐标，再根据第三象限点的坐标特征得到关于b的不等式组，确定b的范围． 解答： |
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例5： 无论m取何值，一次函数y＝x＋2m的图像与y＝－x＋4的图像交点都不可能在第几象限? 分析： 本题若与例4一样，先将两个一次函数联立方程组，用含m的代数式表示交点坐标，要分情况讨论m的范围，非常繁琐．仔细观察，便可知直线y＝－x＋4的图像是确定的，不经过第三象限，所以无论m取何值，两函数图像的交点都不会经过第三象限． 解答： 第三象限． |
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例6： 分析： 本题中，不得不先解方程，用含a的代数式表示x、y的值，然后对x、y进行正负性分析，从而确定不经过第几象限． 解答： |
二、一次函数与一元一次方程、不等式
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例1： 如图，若一次函数y＝－2x＋b的图像交y轴于点A(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为________． 分析： 首先，根据点A坐标，确定直线解析式，不等式－2x＋b＞0，表示y的值为正，则对应的函数图像是直线落在x轴上方的部分，而要求对应的x的取值范围，则需求出函数图像与x轴交点的横坐标，从而得出在临界点的左侧还是右侧． 解答： |
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例2： 函数y＝ax＋b图像经过一、二、三象限，且与x轴交于点(－2，0)，求ax＞b的解集______． 分析： 我们可以先大致画出y＝ax＋b的图像，要求ax＞b的解集，也就是求ax－b＞0的解集，则转化成求函数y＝ax－b对应的图像中，直线落在x轴上方的部分的x的范围，画出y＝ax－b的图像，与y＝ax＋b平行，与y轴交点(0，－b)，从而可知与x轴交点(2，0)． 解答： |
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例3： 分析： 首先利用待定系数法求出A点坐标，－2x＞ax＋3， 表示y1＞y2，即函数y1的图像要在函数y2的图像的上方，从而确定x的解集． 解答： |
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例4： 分析： 要求这个不等式组的解，我们可以拆成两部分， 第一部分，kx＋b＞0，即求y＝kx＋b的图像在x轴的上方时，对应x的范围． 第二部分，kx＋b＜mx，即求y＝kx＋b的图像在y＝mx的图像的下方时，对应x的范围． 解答： |
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例5： 分析： 解答： |
三、面积专题
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例1： 分析： 首先把两个函数联立方程组求得交点坐标，再分别求得两个函数与x轴的交点坐标，据此画出图像，可以求得三角形的面积． 解答： |
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例2： 分析： 要求BC，首先求OA，则联立两一次函数的解析式，求出x、y的值，即可得出A点坐标．利用勾股定理可得OA的长，故可得出BC的长．由P(a，0)可知，点B，点C的横坐标与点P横坐标相同，用含a的代数式表示出B、C的纵坐标，纵坐标相减的绝对值，即为BC长． 解答： |