七上第10讲 《代数式》提升专题2——整体思想求值

写在前面

《代数式》一章已近尾声，这一章主要是在前一章有理数的基础上，引入字母，必不可少的，仍然要给字母赋值，求代数式的值，本讲我们就重点针对代数式求值中的技巧来讲讲整体思想的运用！

一、方法总述

要利用整体思想解题，需要从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何求证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．

二、例题探索

1．直接代入

例1：

已知a－b＝－3，求代数式(－a＋b)²－a＋6＋b的值．

分析：

本题中，我们无需求出a，b的值，将a－b作为一个整体直接代入，需要注意的是－a＋b是其相反数．

解答：

当a－b＝－3时，

原式＝(－a＋b)²－a＋b＋6

＝3²＋3＋6

＝18

变式1：

若ab＝－3，a＋b＝－2，则ab－4a＋a－3b＝_______．

分析：

本题中，同样无需求出a，b的值，先将多项式化简，观察化简结果中的某几项，能否作为一个整体，与所给条件中的某个整体是对应的倍数关系，从而在求解时，将所给条件中的这个整体添上括号和系数，方便求值．

解答：

当ab＝－3，a＋b＝－2时，

原式＝ab－3a－3b

＝ab－3(a＋b)

＝－3－3×(－2)＝3

变式2：

分析：

显然，本题无法求a，b的值，只能将已知条件作为整体，而所求代数式中，第一项是已知条件作为整体的2倍，而第二项，则是已知条件作为整体的倒数，再乘－3．

解答：

2．部分代入

例2：

若代数式2a²－3a＋1的值为5，

(1)求代数式8＋4a²－6a的值．

(2)求代数式－6a²－4＋9a的值．

分析：

本题中，我们可以把所给条件中的部分项组成一个整体，代入到要求的多项式中，一般来说，要求的多项式中，必然也有部分项可看作整体，是所给条件中部分项整体的倍数关系，同样，求解时，别忘给所给条件的部分项添上括号和系数．

解答：

(1)由题意得，2a²－3a＝4

原式＝8＋2(2a²－3a)

＝8＋2×4＝16

(2)原式＝－6a²＋9a－4

＝－3(2a²－3a)－4

＝－3×4－4＝－16

3．两次代入

例3：

分析：

本题中，显然需要把－3代入这个代数式，但是仅代一次是不够的，我们只能得到关于m，n的多项式作为整体，因此，需要把3再次代入，观察此时关于m，n的多项式的整体与之前的关系，并求值．

解答：

当x＝－3时，

原式＝－27m－3n＋1＝－5

∴－27m－3m＝－6

当x＝3时，

原式＝27m＋3n＋1＝6＋1＝7

4．特殊值代入

例4：

分析：

本题中，我们需要思考，到底代哪个特殊值．

(1)中，只有a0，则其他项为0，则x取0．

(2)中，是求每项的系数的和，因此，x必须保证其任何次幂为1，则x取1．

(3)中，x必须保证其奇次幂为－1，偶次幂为1，则x取－1．

(4)中，不含奇数次的项，则这些项要设法消去，则(2)(3)式相加，除以2即可．

(5)中，不含偶数次的项，则这些项要设法消去，则(2)(3)式相减，除以2即可．

解答：

三、高阶运用

1．拆项重组代入

例1：

分析：

这种类型的题目，显然是无法求出x，y具体的值，因此只能观察要求的代数式与所给的两个整体之间的联系，我们通常将中间同时含字母xy的项拆解，是其中一项与第一项合并后是所给第一个整体的倍数，另一项与最后一项合并后是所给第二个整体的倍数．

(1)显然，2xy拆成xy＋xy．

(2)显然，0＝xy－xy．

(3)看到第一项为2x²，则有一项被拆成2xy，凑出第一个所给整体的2倍．

(4)同上．

解答：

例2：

分析：

本题中，要求的代数式中含有三次项，而已知条件的多项式是二次的，因此，要降次，我们可以把三次项拆成一次项乘二次项，而把已知条件中除二次项以外的多项式看作是这个二次项的相反项，用来代替要求式子中拆出来的二次项，则整个所求的三次项就达到了降次的目的．

解答：