第21讲 期末冲刺专练卷1
最近的五讲，我们对整个七年级下册的内容进行了一个浅显的复习，时间匆忙，肯定还有复习不到位的地方，接下来，让我们以题代复习，每讲五题，涵盖各章内容，希望对各位同学有帮助．
例1：已知2×5m＝5×2m，求m的值．
分析：这道题如果是填空题，那我们一眼看出是1，但解答题该怎么做呢？仔细观察不难发现，相同的底数出现在等号的左右两边，那么我们争取要把它们移到等式的同一边，再考虑同底数幂的除法．但是这里不能移项，我们只能采用同除的办法．
解答：2×5m÷5＝2m
5m－1＝2m÷2
5m－1＝2m－1
则m－1＝0，m＝1
（1）若x＋y＝1，求实数m的值；
（2）若－1≤x－y≤5，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，化简：|m＋2|＋|2m－3|．
分析：观察这个方程组，又是系数交叉相等的类型，则可以用技巧，把两式相加，相减．即可得到x＋y和x－y．对于绝对值化简问题，这是上学期的内容，我们求出m的范围之后，就可以确定绝对值内的代数式的正负性，考虑取本身还是相反数．
解答：
（2）两式相减得，x－y＝2m－1
－1≤2m－1≤5
0≤m≤3
（3）借助数轴我们发现有两个临界点为－2和1.5．
根据0≤m≤3，则分2种情况．
①0≤m≤1.5，
原式＝m＋2＋(3－2m)＝5－m
②1.5＜m≤3，
原式＝ m＋2＋(2m－3)＝3m－1
例3：如图，在方格纸内有△ABC
（1）画出△ABC先向右平移6个单位，在向下平移一个单位得到的△A′B′C′．
（2）画出BC边上的高线AD；
（3）图中△ABC的面积是_______
（4）△ABC与△PBC面积相等，在图中描出所有满足条件且异于A点的格点P
分析：格点作图较难，把其中几个常考点讲透也是创立公众号的初衷．如果你没有看过第一讲的内容，可以点击文章开头蓝字“积余鼎尖数学教学”，选择“查看历史消息”，下翻找到第一讲的内容细细查看．
这里对几个小题稍微再作提示，比如作钝角三角形的高，要找到一个关键点．BC可以看作是一个横4竖1的长方形对角线，那么过点A就要找到一个横1竖4的长方形，画对角线．对角线的其中一个顶点就是要找的关键点．
对于三角形面积，在高和底均不是整数的情况下，目前我们只能用大减小的方法，如补成一个大三角形，求出面积．再减去若干三角形，四边形的面积．
要找面积相等的三角形，则有两种思路：①构造同底等高的三角形，则以两个三角形的公共边为底，过另一个点作公共边的平行线，根据“平行线间距离处处相等”，即满足两个三角形的高相等．②构造等底同高的三角形，则以两个三角形的公共边为中线，倍长原三角形的一边，找到该点再作平行．
解答：
如图：
(1)△A′B′C′即为所求．
(2)线段AD即为所求，(其中蓝色点为关键点)．
例4：某镇水库的可用水量为12000万m3，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量.为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只够维持居民15年的用水量.
（1）问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量为多少立方米？
（2）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米水才能实现目标？
（3）某企业投入1000万元设备，每天能淡化5000m3海水，淡化率为70%，每淡化1m3海水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元．企业将淡化水以3.2元/m3的价格出售，每年还需各项支出40万元.按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后能收回成本（结果精确到个位）？
分析：
（1）要求的年降水量和年平均用水量显然没有简单的和差关系，因此，要利用二元一次方程组，则找到2个相等关系：
20年的用水量＝20年的降水量＋水库可用水量
15年的用水量＝15年的降水量＋水库可用水量
（2）这是一个一元一次方程，相等关系与第一问类似．
（3）第三小问另起炉灶，要收回成本，则必然要满足淡化水的所获得的利润要不低于总投入，其中总利润应该是每天淡化成的总水量的总售价减去每天需要淡化水的总费用，乘上天数和年数，而总投入则是设备费和每年的各项支出费．
例5：已知凸四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．
分析：
(1) 由于DE，BF在图中并不相交，因此要判断DE与BF位置关系，必须要作辅助线，延长DE，不难发现，DE⊥BF可能性较大，而这里又隐藏着一个八字形，由于有一对对顶角，因此，得出结论的关键是要证明另一对角相等．
(2) 初看本题，似乎是平行线拐角模型，但又有不同，我们最终要证平行，因此，还是要借助角之间的关系，这里没有同位角和内错角，不妨连接BD，借助同旁内角来完成．