朗兰兹纲领:数学中的大统一理论

数学家一直想要找寻质数的规律。质数就像是数论的原子元素, 是算法研究的基础。它们的数量是无限的, 但它们的分布却似乎是随机地散落在数位中。为了找到质数中的规律, 比如它们出现的频率, 数学家必须将它们与其他事物联系起来。准确说来, 质数就像一个密码, 当你找到正确的阅读密钥时, 它就变成了令人愉悦的信息。质数看起来非常随机, 但通过朗兰兹纲领, 就会发现它们有着一个非常复杂的结构, 能够与各种其他事物联系起来。

2018 年3 月20 日, 挪威科学与文学院宣布, 『2018 年度的阿贝尔(Abel) 奖』授予普林斯顿高等研究院的罗伯特∙朗兰兹(Robert Langlands), 以表彰他提出了连接表示论和数论的极具远见的纲领。他所提出来的『朗兰兹纲领』试图构建数学中的大统一理论, 这是一代代数学家所追求的目标。

罗伯特. 朗兰兹, 加拿大数学家, 普林斯顿高等研究院的荣誉退休教授、加拿大皇家学会会员、伦敦皇家学会会员。其在非交换调和分析、自守形式理论和数论的跨学科领域进行深入研究, 得出把它们统一在一起的朗兰兹纲领, 并首先证明GL(2) 的情形, 这个纲领推广了阿贝尔类体论、赫克(Hecke) 理论、自守函数论以及可约群的表示理论等。朗兰兹荣获美国数学会科尔奖、美国国家科学院首届数学奖以及沃尔夫奖、邵逸夫奖数学科学奖、阿贝尔奖等众多国际大奖。

朗兰兹1936 年10 月6 日出生于加拿大不列颠哥仑比亚的新威斯敏斯特。1953 年, 进入英属哥伦比亚大学学习, 1957 年, 获学士学位, 1958 年, 获硕士学位。随后, 他赴美在耶鲁大学学习, 1960 年获博士学位, 同年被任命为讲师。后来, 在普林斯顿工作。朗兰兹所提出的朗兰兹纲领探讨的是现代数学中的两大支柱『数论与调和分析』之间的深层联系。数论研究的数字之间的算法关系, 被认为是『最纯』的数学领域; 调和分析是数学的一个重要分支, 研究及扩展富氏极数及富氏变换。之前, 这两个领域被认为是毫无关联的, 而它们之间的联系其实有着深远的影响, 被数学家用来解答与质数性质有关的问题。同时, 朗兰兹纲领提出了数论中的伽罗瓦(Galois) 表示与分析中的自守型之间的一个关系网。

1. 高深莫测的『朗兰兹纲领』

有一个与质数结构相关的问题是: 『哪些质数能用两个质数的平方和表示。』在17世纪, 数论学家发现, 所有能用两个质数的平方和表示的质数都有一个共同性质, 当它们除以4 时, 余1。这一发现揭示了质数的一种隐藏结构。到了18 世纪末期, 数学家高斯(Gauss) 对这一奇妙的关联进行了概括, 它的『互反律』用公式将那些等于两个质数的平方和的质数, 与除以4 余1这个特征联系了起来。在朗兰兹的信中, 他在高斯发现的互反律基础上, 提出了更广泛的延伸。

高斯的定律适用于指数不高于2 的二次方程。但朗兰兹认为, 在三次、四次等高阶方程中产生的质数, 应该与调和分析成互反关系。朗兰兹纲领就将多项式方程的质数值与分析和几何学中研究的微分方程的谱相联系到一起, 并认为这两者之间应该存在互反关系。因此, 我们应该能通过了解哪些数字出现在相应的光谱中, 来表示哪些质数出现在特定的情况中。

1967 年, 朗兰兹首次阐述了这一构想, 当时年仅30 岁的朗兰兹在一封写给著名数学家安德烈∙韦伊(Andr´e Weil) 的信中提到了这一计划, 这是一个思考数学的全新方式。在这封17页长的信中, 他谦和的写道: 「如果您愿意把它看作是纯粹的推测, 我会很感激; 如果不愿意, 我相信您身边就有一个废纸篓。」从那时起, 一代又一代的数学家开始接受并扩展了他的构想。现在, 朗兰兹纲领所涵盖的领域非常多, 因此通常被认为是数学界的『大统一理论』。就数学史而言, 这可以说是革命性的。

1979 年, 朗兰兹发展了一项雄心勃勃的革命性理论, 将数学中的两大分支数论和群论之间建立了新的联系。通过一系列的推测和分析, 发现了与涉及整数的公式有关的不可思议的对称性, 并以此提出『朗兰兹纲领』。朗兰兹知道, 证明自己理论立基的假设这项任务需要几代人的共同努力, 而证明『基本引理』将是证明这项假设的合理跳板。他和同事以及学生虽然能够证明这一基本定理的特殊情况, 但证明普通情况所面临的挑战却大大超出他的预想。这项难度极高的工作整整历时30 年才由数学家吴宝珠(Ngoˆ Ba´o Chaˆu) 证明完成。

朗兰兹纲领是当今数学领域非常活跃的研究方向, 它联系了三种来源各异的数学对象: 伽罗瓦表示(算术对象)、自守表示(分析对象) 和代数簇的各种上同调理论(几何对象), 使得相应的三种不变量[阿廷(Artin) L函数、自守L 函数、哈斯-威尔(Hasse-Weil) L 函数]相匹配。这三大领域的结合为数论问题提供了有力的杠杆, 怀尔斯(Wiles)、泰勒(Taylor) 等证明的谷山-志村(Taniyama-Shimura) 猜想便是一个范例。朗兰兹纲领的核心问题是函子性(functoriality) 猜想, 蕴含了很多著名的猜想, 如阿廷猜想、拉马努金(Ramanujan) 猜想、佐藤-塔特(Misaki-Tate) 猜想等。其中, 迹公式是研究朗兰兹纲领的一个重要工具。可见, 研究朗兰兹纲领的团队需要数论、代数群、李群表示论和代数几何专长的研究人员。

如今, 研究朗兰兹纲领的数学家正试图证明这种关系以及其他许多相关的猜想。与此同时,他们正在用朗兰兹型的联系来解决那些本看似遥不可及的问题。其中最著名的成果是数学家安德鲁．怀尔斯在20世纪90年代初对费马大定理的证明。怀尔斯的证明部分取决于朗兰兹早在几十年前就预言过的数论和分析之间的关系。1996年, 怀尔斯和罗伯特∙朗兰兹分享了10万美元的沃尔夫奖。朗兰兹提出的朗兰兹纲领, 是一个使数学各领域之间证明统一化的猜想, 而怀尔斯通过对谷山-志村猜想的证明, 将椭圆曲线和模形式统一了起来, 这个成功为朗兰兹纲领注入了生命力, 一个领域中的问题可以通过并行领域中的对应问题来解决, 这是一个可能使数学进入又一个解决难题的黄金时期的突破性工作。

另外, 越南数学家吴宝珠试图用公式表述一项有关基本引理的精巧证法, 终于在2009年证明了其正确性, 全世界的数学家终于可以松一口气。在这一领域, 数学家过去30年的工作就是本着这样一种原则进行研究, 即基本引理是正确的并且将在未来的某一天得到证明。谈到未来,吴宝珠说: 「我只是证明了纲领的基本引理, 不是整个纲领。我们的下一个目标是整个朗兰兹纲领, 基本引理只是它的基础,是其中一座小山峰。爬过这座山峰后, 现在可以瞭望朗兰兹纲领了。前面是一座大山, 我们的问题是如何爬上去。其中一件事是朗兰兹回来了, 他将为我们指示解决整个纲领的新路线。我认为, 整个纲领也许需要我一生的时间。」

事实上, 朗兰兹纲领是数学中一系列影响深远的构想, 联系数论、代数几何与约化群表示理论。这些年来, 朗兰兹纲领已取得巨大的扩展。然而, 当抛开那些为了实现朗兰兹的构想而建立的复杂系统时, 会发现激励这个庞大构想最初动力的仍是最基本的数学问题。理解方程中出现质数的性质, 基本上就等同于对算术世界的基本分类。

2. 朗兰兹, 摘取数学巨奖『阿贝尔奖』

为什么朗兰兹纲领是数学的大一统理论? 朗兰兹纲领是一个很广阔的问题, 有许多数学专家工作于此。朗兰兹纲领的思想已经渗透到许多数学领域中, 所以, 有人钻研数论, 或调和分析,或几何, 或数学物理研究不同的对象, 但是发现了相似的现象。朗兰兹凭借其数学才华与远见卓识, 看到了数学世界中的很大一部分内容能够以一种完全意想不到的方式联系在一起。他告诉人们, 代数中的基本对象跟分析中同样基本的对象牢牢地栓在一起。一方面, 存在着决定数和代数方程如何运作的基本数学事实; 另一方面, 又存在着决定函数和微分方程性质的基本事实。因此, 朗兰兹提出的这两类对象之间的关系提供了统一数学的原则, 这是有深远意义的。

3月前, 挪威科学与文学院宣布『2018 年度的阿贝尔奖』授予朗兰兹。何谓阿贝尔奖? 阿贝尔奖是一项挪威设立的数学界大奖。每年颁发一次。2001 年, 为了纪念2002 年挪威著名数学家尼尔斯∙亨利克∙阿贝尔二百周年诞辰, 挪威政府宣布将开始颁发此种奖金。自2003 年起,一个由挪威自然科学与文学院的五名数学家院士组成的委员会负责宣布获奖人。奖金的数额大致同诺贝尔奖相近。设立此奖的一个原因也是因为诺贝尔奖没有数学奖项。2001 年, 挪威政府拨款2 亿挪威克朗作为启动资金。扩大数学的影响, 吸引年轻人从事数学研究则是设立阿贝尔奖的主要目的。2003 年3 月23 日, 第一个获奖人名宣布, 六月奖金第一次正式颁发。

翻开近世数学的教科书和专门著作, 阿贝尔这个名字是屡见不鲜的: 「阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性等等。」很少几个数学家能使自己的名字同近世数学中这么多的概念和定理联系在一起。16 岁那年, 他遇到了一个能赏识其才能的老师霍姆伯(Holmboe) 介绍他阅读牛顿(Newton)、欧拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)、高斯的著作。大师们不同凡响的创造性方法和成果, 一下子开阔了阿贝尔的视野, 把他的精神提升到一个崭新的境界, 他很快被推进到当时数学研究的前沿阵地。后来他感慨地在笔记中写下这样的话: 「要想在数学上取得进展, 就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作」。阿贝尔在五次方程和椭圆函数研究方面远远的走在当时研究水平的前面, 但因学术始终无法得到承认而贫病交加, 27 岁不到就染上肺结核去世。法国数学家埃尔米特(Hermite) 曾感叹地说: 「阿贝尔所留下的思想, 可供数学家们工作150年。」

近年来, 阿贝尔奖获奖者分别是: 2013年, 比利时数学家德利涅(Deligne), 以嘉奖其对代数几何的开创性贡献及其对『数论』、『表示论』及相关领域的『变革性』影响。2014 年, 俄罗斯数学家雅科夫．西奈(Yakov G. Sinai), 以表彰其在动力系统、遍历性理论以及数学物理学方面所作出的卓越贡献。2015 年, 美国数学家约翰∙纳什(John Nash) 和刘易斯∙尼伦伯格(Louis Nirenberg), 以表彰他们在非线性偏微分方程方面所作出的卓越贡献。2016 年, 英国数学家安德鲁∙怀尔斯, 以表彰他在证明费马大定理方面所作出的卓越贡献。2017 年, 法国数学家伊夫∙梅耶尔(Yves Meyer), 以表彰他在小波分析理论发展方面做出的重要贡献。2018年, 加拿大数学家罗伯特∙朗兰兹, 以表彰他提出了连接表示论和数论的极具远见的纲领。

数学打开了一扇门, 让我们了解如何打破传统的壁垒, 如何在追求真理的过程中充分发挥想象力。无穷理论的创立人格奥尔格∙康托尔(Georg Cantor) 说: 「数学的精义在于蕴藏其中的自由。」数学教我们大胆分析现实, 研究事实, 并以事实为指引义无反顾地朝前迈进。数学把我们从教条与偏见中解放出来, 并帮助我们培养创新突破的能力。正因为这些, 数学才得以代代相传, 延续至今。如前所述, 在1967 给数学家安德烈∙韦伊的信中, 数学家朗兰兹提出一个著名的猜想, 现称为朗兰兹互反猜想。这个猜想后演变成朗兰兹纲领, 在过去几十年对数学的发展产生了极大的影响。

自提出以来, 朗兰兹纲领的影响近年来与日俱增, 与它有关的每一个新的进展都被看作是重要的成果。特别是, 自从1990 年以来, 有3 位数学家的工作因为部分解决了朗兰兹纲领中的猜想, 从而获得了菲尔兹奖, 这足以看出朗兰兹纲领的重要性。第一位因为研究朗兰兹纲领而获得菲尔兹奖的数学家是乌克兰数学家弗拉基米尔∙德林费尔德(Vladimir Drinfeld)。由于他在朗兰兹纲领和量子群这两个领域取得了决定性的突破并促进了一大批研究的进展, 他于1990 年获得菲尔兹奖。第二位因为研究朗兰兹纲领而获得菲尔兹奖的数学家是洛朗∙拉佛阁(Laurent Lafforgue)。他在朗兰兹纲领研究方面取得了巨大的进展, 他证明了与函数体情形相应的整体朗兰兹纲领, 于2002 年获得了菲尔兹奖。拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领, 对更抽象的所谓函数体而非通常的数体情形提供了这样一种完全的理解。第三位因为研究朗兰兹纲领而获得菲尔兹奖的数学家是之前提及的越南数学家吴宝珠。『通过引入新的代数-几何学方法, 吴宝珠证明了朗兰兹纲领自守形式中的基本引理』, 该成果于2009 年被美国《时代》周刊列为年度十大科学发现之一。2010 年8 月19 日, 在印度海得拉巴市召开的第26 届国际数学家大会上, 吴宝珠因证明朗兰兹纲领的基本引理获得国际数学界大奖『菲尔兹奖』。

代数、几何、数论、分析与量子物理等领域的研究内容乍一看似乎相去甚远, 但是朗兰兹纲领却在这些不同的数学分支之间建立起千丝万缕的联系。如果我们把这些分支看成数学这个秘密世界中的一块块大陆, 朗兰兹纲领就是功能强大的运输工具, 可以让我们在各个大陆之间瞬时往返。

3. 一座美丽的桥梁, 沟通数学核心分支

在数学中, 被称为『纲领』的成果屈指可数, 出名的仅有爱尔兰根(Erlanger) 纲领、希尔伯特(Hilbert) 纲领和朗兰兹纲领这三个。爱尔兰根纲领和希尔伯特纲领是19 世纪末至20世纪初的产物, 它们在数学史上都产生了重要的作用, 影响了数学相关领域很长的时间。而朗兰兹纲领, 它诞生于20 世纪60 年代, 它的诞生已经引领了数学发展40 余年, 并且仍将继续引领着数学的发展。

其实, 我们认识数学基本上都是从整数开始的, 然后是简单的几何与多项式方程。一个最古老的数学分支: 数论, 就是研究整数的。整数中间有无穷的魅力、奥秘和神奇, 始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者。著名的问题包括哥德巴赫(Goldbach) 猜想、孪生素数猜想、费马(Fermat) 大定理等。几何, 同样是最古老的数学分支。古希腊人对直线、圆周以及圆锥曲线的研究到后来发展成为代数几何, 这个分支专门研究多项式方程对应的图形。过去一百多年来, 代数几何的发展非常迅速, 大家辈出, 在数学其他分支和数学物理中都有很深刻的应用。已获菲尔兹奖的数学家中约三分之一的工作与代数几何有关。然而, 群论的产生只有一百多年, 源于多项式方程的求根公式。人们很早就会解一元一次方程和一元二次方程, 一元三次方程和四次方程的公式解在十六世纪被找到。一个重要的数学分支『群论』在探索方程的根式解的过程中诞生了。方程是否有根式解与相应的群是否可解为一回事。群论的诞生改变了数学的面貌, 影响几乎遍及整个数学, 在物理和化学及材料科学中有很多的应用, 是研究对称的基本工具。

如之前所述, 朗兰兹纲领指出这三个相对独立发展起来的数学分支: 数论、代数几何和群表示论, 实际上是密切相关的, 而连接这些数学分支的纽带是一些特别的函数, 被称为L-函数。

L-函数可以说是朗兰兹纲领的中心研究对象。数学界著名的七个『千禧年大奖问题』中有两个就是关于L-函数的, 分别是黎曼(Riemann) 假设和BSD 猜想。

朗兰兹提出了怎样对一般的简约群的自守表示定义一些L-函数, 并猜测一般线性群自守表示的一些L-函数跟来自数论的伽罗瓦群的一些表示的L-函数是一样的。这个猜想被朗兰兹本人和其他数学家进一步拓展、细化, 逐渐形成了一系列揭示数论、代数几何、表示论等学科之间深刻联系的猜想。朗兰兹纲领就是对这些猜想和相关问题的研究。

特别地, 拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领, 对更抽象的所谓函数体而非通常的数体情形提供了这样一种完全的理解。我们可以将函数体设想为由多项式的商组成的集合, 对这些多项式商可以像有理数那样进行加、减、乘、除。拉佛阁对于任意给定的函数体建立了其伽罗瓦群表示和与该体相伴的自守型之间的精确联系。拉佛阁的研究是以1990 年菲尔兹奖获得者弗拉基米尔∙德林费尔德的工作为基础, 后者在20 世纪70 年代证明了相应的朗兰兹纲领的特殊情形。拉佛阁首先认识到德林费尔德的工作可以被推广而为函数体情形的相应的朗兰兹纲领提供一幅完整的图像。在这一工作的过程中, 拉佛阁还发现了一种将来可能被证明是十分重要的新的几何构造, 所有这些发展的影响正在波及整个数学。

朗兰兹纲领是对现在数学诸多领域一种统一性的看法和普遍性的观点, 由一系列规模宏大的猜想所组成, 其中有些猜想甚至还没有形成明确的数学语言。朗兰兹纲领还有很多的各种各样的推广, 比如说几何朗兰兹纲领可能和物理关系更密切一点, 还有p'-adic 的朗兰兹纲领和数论的关系更加密切一点这里还有很多的问题等等大家去探索。朗兰兹纲领是数学中一系列影响深刻的构想, 联系了数论、代数几何以及群表示理论。依靠朗兰兹纲领, 数学家在一个领域不能解决的问题, 可以在其他领域证明解决。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案, 那么可以把问题再转换到下一个数学领域中, 直到它被解决为止。所以, 朗兰兹纲领是21 世纪最大的数学难题, 也是未来最有潜力的研究领域!