与“三角形一边的平行线”相关的性质和判定定理的证明

三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.

依据这条性质定理，我们通过分类讨论得到三种情况：已知▲ABC，直线l平行BC，则①直线l交边AB、AC于D、E；②直线l交边AB、AC的延长线于D、E；③直线l交边AB、AC的反向延长线于D、E.

在比例线段这节中，我们利用了“同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比”，这个性质指出了线段比与面积比之间的联系，因此，我可可以考虑利用两个三角形面积的比来尝试解决问题。证明过程如下：

三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

三角形一边的平行线性质定理是判断线段成比例的一个依据.这个定理的条件中有一条平行于三角形一边的直线，结论中有关的比例线段分别在三角形两边所在直线上.因此考虑将DE平移到BC边上去，即构造平行线进行证明.

三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

方法1：本条结论是三角形一边的平行线性质定理得逆命题，要肯定上述结论的正确性，只要证明有一个平行四边形的相对两边分别在直线BC和DE上.

方法2：除了过C作平行线外，也可以作DE'//BC（点E'在边AC上），得AD:DB=AE':CE'，得E与E'重合，得DE'与DE重合。

三角形一边的平行线还有许多添辅助线的方法，链接如下：

“三角形一边的平行线添线方法”

阅读材料：利用出入相补原理证明“三角形一边的平行线”性质定理

（沪教版九年级上册阅读材料：漫谈“出入相补原理”）

如图24-71，可知，在这样的矩形中存在一个基本图形X型，一次可以借助矩形先证明点在方向延长线上的情况，证明如下：

同时，矩形中除了一个X型(SC-AR)外，还有一个直角三角形背景下的A型图(OQ-RB)，由OC:OA=OS:OR，及SO=CQ,BQ=OR，得到OC:OA=CQ:BQ.那么对于一般的三角形，是否也可以使用出入相补原理证明呢？由直角三角形背景下的A型图带来的思考，我们可以在一般三角形中做一条高再构造两个矩形进行证明.