高数、数分中的有势场、保守场、无旋场、势函数的定义、判定及求解方法与典型题分析

有些量的命名在不同学科中可能有所不同，也就是说在数学上的同一个量在不同学科中可能有不同的名称。

1、基本定义与等价描述

有势场: 对于定义在 上的向量场, 如果在 上存在一个数量场 , 使得

在 上恒成立，则称向量场 为有势场. 同时称 为向量场 的一个势函数. 即

数学上称 为全微分表达式 的一个原函数.

保守场: 设 是定义在 上的一个向量场, 如果对于包含于 中的任意一条封闭曲线 , 都有

则称 是 上的一个保守场. 如果 为力场, 则表示作功与路径无关.

无旋场 : 设 是定义在 上的一个向量场, 如果

在 上恒成立，则称 是 上的一个无旋场.

等价论断 : 设 是定义在 上的一个向量场, 则 以下三个论断等价:

(1) 是有势场;

(2) 是无旋场;

(3) 是保守场.

【说明】 以上描述即等价于空间曲线上积分与路径无关的四个 等价描述. 判定向量场为有势场或保守场的最有效判定方法是 验证

2、势函数的求解思路

求向量场的势函数就是求全微分表达式的原函数.

(1) 积分与路径无关

其求解的方法依据积分与路径无关可以选择特殊路径方法直接计算，对于三元函数一般选取的路径就为

注意路径上所有经过的 存在有连续偏导数

(2) 积分法

根据 中的一个偏导数等式积分得到一个包含有待定二元函数的函数，然后逐个代入其余两个偏导数等式，求解得到原函数.

【注】 以上结论与定义同样适用于平面上的向量场. 仅仅第三 个分量为零. 在数学上即为平面上曲线积分与路径无关的等价描述及相关结论.

3、典型例题分析

例 1 判定向量场

为有势场并求它的势函数.

【参考解答】：(1) 向量场为有势场的充要条件是 . 令

则可得

即题设中的向量场为有势场.

(2) 求势函数 .

【思路一】 依据积分与路径无关，取积分路径为

则分别在 上积分，得势函数

即势函数可取为

其中 为 任意常数，并把一1合成到了 中.

【思路二】  积分法. 由

对第一个式子关于 积分，得

对其关于 求偏导，得

将其代入后面两个偏导数等式, 得

所以 即

其中 为任意常数.

例 2 设 是平面有势场, 试求函数 的表达式及 的一个势函数 . 用 的变限积分表达式描述, 不包含 .

【参考解答】: 因为 为有势场, 则必有

整理得

记, 则由上式得

即 , 得

其中 为任意常数. 于是

取积分路径为 , 则基于定积分变量 符号描述的无关性和积分对区间的可加性，得

END

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