例谈数列的求和方法

昨天推送中有一道小题：

第一小题很简单，主要是负指数幂要同学们见识下，这个老师们点一下就好。下面来说说第二小题。

事实上，第二小题是一道典型的数列求和的题。未来同学们在高中会接触到最基本的两种数列是等差数列和等比数列（事实上有些小学题都已经涉及了），研究的问题包括其通项公式和前n项和，而在解决这两个问题的过程中就用到了我们解决数列问题的最基本的思想方法，包括累加法、累积法、倒序相加法、错位相减法等。

等差数列：

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一列数。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

这样就通过累加法得到了等差数列的通项公式。

等比数列：

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一列数。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。特别地，q=1 时，{an}为常数列。

根据定义有：

下面再来看其前n项和的问题，根据定义和通项公式进行如下推导

项数太多，如何化简？考虑到等比数列的特点，我们在公比上做文章，左右同时乘以公比q得

至此，我们可以发现非常好的一个特点，上下两式中有很大一部分完全相同的项，我们可以通过做减法①-②把这些项给消掉，如此达到减少项数化简的目的，这就是著名的错位相减法。

下面只需要左右两边同时除以1-q即得，注意这里要讨论q是否为1。

至此我们讨论完了最基本的累加法、累积法、倒序相加法、错位相减法。下面再来说那道试题

它的特点是分母是等比数列，分子又是等差数列，我们考虑用刚才了解的方法处理

所得式子前面部分就是等比数列的加和，我们可以通过公式得出，如此此题也就得解。