初中数学解题策略指导（上）
来源：生长数学
如果用一句话概括解题的指导原则，那就是“条件用足，模型完备，问题必解。”
题中每个条件都要充分发挥其作用，通过构造完备的模型就能把条件与问题进行充分联结。
解题就是过河，条件是此岸，问题是彼岸，模型是连接此岸与彼岸的桥梁，而造桥的材料是在此岸寻找，桥的造法也要依据彼岸的特征。
可别小瞧了这个原则，有时做题往往想得太久想得太远，或受思维定势的影响，以致于偏离了方向，忘记了该从哪里出发，向哪里前进。
例1．如图，等边△ABC中，AB=6，D为BC的中点，E为△ABC内一动点，DE=2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得AF，则DF的最小值为 ．
不少学生根据经验想到构造下面的手拉手模型，却发现无法解决问题，这是咋回事呢？
这是因为依靠经验和感觉解题具有较大的盲目性，并不能看清问题的真面目。稍加分析我们会发现，这里虽然有了手拉手全等模型，但它并没有把条件充分利用，如DE的长以及要求的线段CF并没有出现在模型中，以致这两个条件没有得到有效利用，不符合“条件用足，模型完备”的原则，所以可以推断这种构造方法是解决不了问题的。
本题中有的条件信息其实是打酱油的，与问题没有直接的关系，完全可以忽略，我们去掉BC两点看，对原问题的存在毫无影响，于是我们知道，等边三角形ABC只是作为背景条件用来确定AD的长度，其它并无用处。
好吧，我们把图形做个瘦身，会发现问题是如此简单明了！
很容易想到旋转60度构造双等边手拉手模型：
易得DF≥PD－PF=3√3－2，DF最小值为3√3－2。
这一原则的核心就是：找准关键条件，紧抓所求问题，构造模型以使其建立联系。从这个角度思考，我们就能得到很多构造方法，本题的关键图形是等边△ABC、AD=3√3、DE=2、求DF，等边△ABC为我们提供了构造模型的方式－旋转60度，AD、DE、DF为我们提供了构造模型的主体－把其中任意一条线段旋转60度。看看，题目条件既告诉我们怎样操作，又告诉了我们把谁进行操作，如下另有五种构造方式：
我们还可以再换一种模型来解决，“E为动点，DE=2”这个条件告诉我们什么？E点轨迹是以D为圆心2为半径的圆，F点与E点是主从联动关系，所以F点轨迹是把圆D旋转60度得到的圆P，这样DF的最小值转化为定点D到圆P的最短路径，如下图。
例2.如图，正方形网格中，格点线段AB、CD交于点M，则AM：AB= .
本题图中点M的位置由AB、CD共同确定，可以建立坐标系，利用A、B点确定直线AB的函数表达式，利用C、D点确定直线CD的函数表达式，再求交点M的坐标，M点横坐标与B点横坐标的比即为AM：AB的值。
也可以构造与AB、CD及M点相关的相似形解决，如下图：
利用图中的两对相似三角形很容易求得AM：AB的值。但此题作为考试题出现时，得分率较低，就是因为学生还没有明确的从条件出发构造相关模型的意识。
1．定变分析
题中哪些是常量哪些是变量？常量如何求？变量满足什么关系式？哪些是定点哪些是动点？定点如何确定？动点能确定运动轨迹吗？图形的形状确定吗？图形的大小确定吗？数量或图形之间的依存关系是什么？
定变分析帮助我们判断哪些量是可求的，哪些量是不可确定的，从而明确解题的下一步思路．
例3.以点O为直角顶点作两个直角三角形，分别为ΔAOB、ΔCOD，其中∠B＝30°，BO=2√3，E是OD上一点且OE=1，P是线段AB上一个动点，
当ΔAOB绕点O旋转时，PN的最大值为 ，最小值为 .
结合问题观察推理，ΔCOD的形状大小与本题要求的问题有关系吗？显然并没有半毛钱关系，可以直接忽略不看，因为PE的长度只和其中的OE有关。再看ΔAOB已知两角一边，它的形状大小都确定，又P点是AB上动点，所以P点轨迹首先是线段AB。ΔAOB绕点O旋转时，AB绕点O旋转，AB是动线段，它的运动轨迹也是可以确定的，显然它旋转一周形成的轨迹是圆环，如下图：
注意内圆半径是O到AB的距离，即AB边上的高，因ΔAOB大小确定，高OH亦可确定。
现在我们把那个捉摸不定的动点P确定下来，P点可以看成是圆环内（包含边界）的任意一点，问题转化为E到圆环的最大最小距离，变成一个非常简单的求点到圆最值的基本问题：
显然OP最大为：大圆半径+OE=2√3+1，最小为：小圆半径－OE=√3－1。
本题还有更简洁的思考策略，ΔAOB相对于OE旋转了一周，若ΔAOB不动，把线段OE旋转一周，它们之间的关系是相同的。这里E点轨迹是以O为圆心1为半径的圆，转化为线段到圆的路径最值问题：
从更宏观的角度看，这里E点的位置和P点的位置都是不确定的，但它们的轨迹是确定的，又可以看成圆到圆的路径最值问题：
以上解法的本质是通过寻找轨迹把不确定的点限定在一定范围，并以确定的图形把它呈现出来，从而转化为已知的常用模型来解决，这体现了定与变的相对转化：变量可以由确定的关系式来限定，动点可以由确定的图形来限定，定值和定点都可以由特定的模型而求解。
2．方程解析
笛卡尔说过，一切问题都可以转化为数学问题,一切数学问题都可以转化为代数问题,而一切代数问题都可以转化为解方程！建立方程式求未知量的值是解决数学问题的通用策略，在坐标系中求未知点坐标也常常利用函数简析式建立方程求解．确定n个未知数的值需建立n个方程式；确定两个图像的公共点需求出两个图像的函数解析式．
例4．如图， ΔABC的内切圆与各边相切于点D、E、F，∠A=60°，BD=m，CD=n，用m、n表示ΔABC的面积.
首先根据切线长定理可知图中线段的相等关系：
这样各边中仅有AE（AF）是未知量，但我们再由条件∠A=60°可以建立方程求得未知量与m、n的关系，最后便可以用m、n表示面积。用什么模型建立关系呢？这里有特殊角度，而且需要求面积，我们自然可以想到构造相关直角三角形：
我们还可以用内切圆半径与三角形面积关系建立方程：