2021年深圳中考数学选择压轴题，结合正方形和三角形的各方面知识

这是2021年深圳中考数学选择题的压轴题。这种题是中考数学选择题比较讨厌的，因为错一个就全错了，解一道题相当于要解4个问题。

如图，在正方形ABCD中, AB=2, E是BC的中点, 在BC延长线上取点F使EF=ED, 过点F作FG⊥ED交ED于点M, 交AB于点G, 交CD于点N, 以下结论中：①tan∠GFB=1/2; ②NM=NC; ③CM/CE=1/2; ④S四边形GBEM=(根号5+1)/2, 正确的个数是( ).

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

分析：①∵FG⊥ED, ∴△DMN是直角三角形,

∠MDN=90⁰-∠DNM，(直角三角形两个锐角互余)

在Rt△CFN中, ∠GFB=90⁰-∠CNF，

∵∠CNF=∠DNM(对顶角相等)

∴∠GFB=∠MDN，

又E点是BC的中点, CE=BC/2=CD/2,

∴tan∠GFB=tan∠MDN =CE/CD=1/2. ①正确。

②连接DF, 则∠EFD=∠EDF，①中已证∠GFB=∠MDN，∴∠NFD=∠NDF，

∴DN=FN，

∴Rt△DMN≌Rt△FCN，(AAS)

∴NM=NC. ②正确.

③虽然肉眼可见这个结论是错误的。但是学数学不能单凭肉眼，还是要有证明的。这里直接证明比较麻烦，可以采用反证法：假设结论成立，求出各边的长，然后在一个直角三角形中检验勾股定理不成立，所以假设不成立，所以结论错误。

CE=BC/2=AB/2=1,

DE=根号(CD^2+CE^2)=根号5,

∵EF=ED, CF=MD,（已知以及全等三角形的性质）

∴ME=CE=1,

∵∠MEC=∠DEF, ∴△EMC∽Rt△EDF，(有公共顶角的两个等腰三角形相似)

若CM/CE=1/2, 那么CM=1/2,(这里运用反证法)

又DF/CM=DE/ME=根号5, ∴DF=根号5 /2,

CF=EF-CE=DE-CE=根号5-1,

在Rt△CDF中, CD^2+CF^2=10-2倍根号5≠5/4=DF^2,（不符合勾股定理）

∴CM/CE≠1/2. ③错误。

④BF=BC+CF=2+根号5-1=根号5+1,

BG=BF·tan∠GFB=(根号5+1)/2,

MF=ME/tan∠GFB=2.

S四边形GBEM=S△BFG-S△EFM

=BF·BG/2-EM·MF/2=(根号5+1)2/4-1=(根号5+1)/2. ④正确。

选B.

这是作为平时学习，一定要把其中的道理弄明白，否则以后题目一有改变，就适应不了。还有一点需要注意的是，这种题有时候也问“错误的个数有几个”，审题一定要审清楚了。如果你有其它想法，欢迎讨论。人非圣贤，孰能不出错，如果老黄有哪里搞错了，欢迎指正，谢谢！