中考数学压轴题分析：相似三角形的存在性问题3

前面文章中已经多次介绍其它地区的相似三角形存在性问题。因此此类问题还算高频考点。本文内容选自2020年铜仁中考数学压轴题。涉及三角形面积的最大值与相似三角形的存在性问题。比较典型、基础。值得研究。

【中考真题】

（2020·铜仁市）如图，已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为，求关于的函数表达式（指出自变量的取值范围）和的最大值；
（3）点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标．

【分析】
题（1）求解析式，直接代入即可。
题（2）本质是面积问题，利用割补法或者直接求都可以。
题（3）是相似三角形的存在性问题，每年出现的频率还是比较高。其中一个三角形的形状是固定的，另一个三角形有两个动点。不过由于∠CMN=90°，那么情况只有两种，也就是N在CM的上方或下方。先画出草图，然后再利用对应边的比值，列等量关系即可。
【答案】解：（1）将、代入，
得：，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）过点作轴，交于点，如图1所示．

当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将、代入，得：
，解得：，
直线的解析式为．
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，面积取最大值，最大值为．
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
$\therefore 0<m<3$．
综上所述，关于的函数表达式为，的最大值为．
（3）存在点、点使得，且与相似．
如图2，，当点位于点上方，过点作轴于点，</m<3$．

，，
，
若与相似，则与相似，
设，，
，，
当时，，
，
解得，，
，
此时，
，
当时，，
，
解得，
，，
此时．
如图3，当点位于点的下方，

过点作轴于点，
设，，
，，
同理可得：或，与相似，
解得或，
，或，
此时点坐标为或．
综合以上得，存在，或，，或，，或，，使得，且与相似．