高中函数知识点大全，收藏吧！

函数是贯穿整个高中数学的始末，也是高考数学中的重要考点，也常与其他知识点融合起来考察，所以老好说的好呀“基础打的好，做题没烦恼！”

一次函数

一、定义与定义式：

自变量 x 和因变量 y 有如下关系：

y=kx+b

则此时称 y 是 x 的一次函数。

特别地，当 b=0 时， y 是 x 的正比例函数。

即： y=kx （k 为常数， k≠0）

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x 的变化值成正比例，比值为k

即： y=kx+b （k 为任意不为零的实数b 取任何实数）

2.当 x=0 时， b 为函数在 y 轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3 个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x 轴和 y 轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式： y=kx+b 。

（2）一次函数与 y 轴交点的坐标总是（ 0，b) ，与 x 轴总是交于（ -b/k ，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b 与函数图像所在象限：

当 k＞0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，直线必通过二、四象限，

y 随 x 的增大而减小。

当 b＞0 时，直线必通过一、二象限；

当 b=0 时，直线通过原点

当 b＜0 时，直线必通过三、四象限。

特别地，当 b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当 k＞0 时，直线只通过一、三象限；当k＜0 时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点 A（x1， y1）； B（x2，y2），请确定过点A、B 的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为

1y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b 。所以可以列出 2 个方程： y1=kx1+b ,, ①和 y2=kx2+b ,, ②

（3）解这个二元一次方程，得到k， b 的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用

1.当时间 t 一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt 。

2.当水池抽水速度f 一定，水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。 设水池中原有水量 S。 g=S-ft 。

六、常用公式：（不全，希望有人补充）

1.求函数图像的 k 值：（ y1-y2)/(x1-x2)

2.求与 x 轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与 y 轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√ (x1 -x2)^2+(y1-y2)^2

（注：根号下（ x1-x2) 与（ y1-y2)的平方和）

二次函数

I. 定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量 y 之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c（a，b，c 为常数， a≠0，且 a 决定函数的开口方向，a>0 时，开口方向向上， a<0 时，开口方向向下 ,IaI还可以决定开口大小 ,IaI越大开口就越小 ,IaI 越小开口就越大 . ）则称 y 为 x 的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II. 二次函数的三种表达式

一般式： y=ax^2+bx+c （a，b，c 为常数， a≠0）

顶点式： y=a(x-h)^2+k [

抛物线的顶点 P（h，k） ]

交点式： y=a(x-x ?)(x-x ?) [ 仅限于与 x 轴有交点 A（x? ，0）和 B（x?，0）的

抛物线 ]

注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x ?=(- b±√b^2 -4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV. 抛物线的性质

1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线 x=0）

2. 抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a， (4ac-b^2)/4a )

当-b/2a=0 时， P 在 y 轴上；当 Δ= b^2-4ac=0 时， P在 x 轴上。

3. 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。

当 a＞0 时，抛物线向上开口；

当a＜0 时，抛物线向下开口。

|a| 越大，则抛物线的开口越小。

4. 一次项系数 b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。

当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左；

当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右

5. 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。

抛物线与 y 轴交于（ 0，c）

6. 抛物线与 x 轴交点个数

Δ= b^2-4ac ＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。

Δ= b^2-4ac=0 时，抛物线与x 轴有 1 个交点。

Δ= b^2-4ac ＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点。 X的取值是虚数（ x= - b±√b^2－ 4ac 的值的相反数，乘上虚数i ，整个式子除以2a）

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）

y=ax^2+bx+c ，当 y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），

即 ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。

函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数 y=ax^2 ，y=a(x-h)^2 ，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c( 各式中， a≠0) 的图象形

状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表:

当 h>0 时， y=a(x-h)^2的图象可由抛物线

y=ax^2 向右平行移动 h 个单位得到，当 h<0 时，则向左平行移动|h| 个单位得到．

当 h>0,k>0 时，将抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到 y=a(x-h)^2 +k的图象；

当 h>0,k<0 时，将抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位，再向下移动|k| 个单位可得到y=a(x-h)^2+k

的图象；

当 h<0,k>0 时，将抛物线向左平行移动|h| 个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当 h<0,k<0 时，将抛物线向左平行移动|h| 个单位，再向下移动|k| 个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0) 的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2 ．抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0) 的图象：当a>0 时，开口向上，当a<0 时开口向下，对称轴是直线 x=-b/2a ，顶点坐标是 (-b/2a ，[4ac-b^2]/4a)．

3 ．抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0) ，若 a>0，当 x ≤ -b/2a 时， y 随 x 的增大而减小；当x ≥-b/2a 时， y 随 x 的增大而增大．若a<0，当 x ≤ -b/2a 时， y 随 x 的增大而增大；当x ≥-b/2a 时， y 随 x 的增大而减小．

4 ．抛物线 y=ax^2+bx+c 的图象与坐标轴的交点：

(1) 图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c):

(2) 当△ =b^2-4ac>0 ，图象与 x 轴交于两点 A(x ?，0) 和 B(x ?，0) ，其中的 x1,x2 是一元二

次方程 ax^2+bx+c=0(a ≠0) 的两根．这两点间的距离AB=|x ?-x ?|

当△ =0．图象与 x 轴只有一个交点；

当△ <0．图象与 x 轴没有交点．当 a>0 时，图象落在 x 轴的上方， x 为任何实数时，都有y>0；当 a<0 时，图象落在 x 轴的下方， x 为任何实数时，都有y<0．

5 ．抛物线 y=ax^2+bx+c 的最值：如果 a>0(a<0) ，则当 x= -b/2a时， y 最小 ( 大) 值=(4ac-b^2)/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6 ．用待定系数法求二次函数的解析式

(1) 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y 的三对对应值时， 可设解析式为一

般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0) ．

(2) 当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：

y=a(x- h)^2+k(a ≠0) ．

(3) 当题给条件为已知图象与

x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a(x-x?)(x-x ?)(a ≠0) ．

7 ．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．反比例函数形如 y ＝k／ x(k 为常数且 k≠0) 的函数，叫做反比例函数。

自变量 x 的取值范围是不等于0 的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),

图像关于原点对称。

另外， 从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了

k 分别为正和负（ 2 和-2 ）时的函数图像。

当 K＞0 时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当 K＜0 时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

1. 过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的

面积为 | k |。

2. 对于双曲线 y＝k／x ，若在分母上加减任意一个实数( 即 y ＝ k／（x±m）m为常数 ) ，就

相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移， 减一个数时向右平移）

对数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a 的规

定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小

a 所表示的函数图形

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线

y=x 的对称图形， 因为它们互

为反函数。

（1）对数函数的定义域为大于0 的实数集合。

（2）对数函数的值域为全部实数集合。

（3）函数总是通过（ 1，0）这点。

（4）a 大于 1 时，为单调递增函数，并且上凸；

a 小于 1 大于 0 时，函数为单调递减函数，并且下凹。

（5）显然对数函数无界。

指数函数

指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得

x 能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

如图所示为 a 的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于 0，对于 a 不大于 0 的情

况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

（2） 指数函数的值域为大于0 的实数集合。

（3） 函数图形都是下凹的。

（4） a 大于 1，则指数函数单调递增；a 小于 1 大于 0，则为单调递减的。

（5） 可以看到一个显然的规律，就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中 （当然不能等于0），

函数的曲线从分别接近于

Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。

（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X 轴, 永不相交。

（7） 函数总是通过（ 0， 1）这点。

（8） 显然指数函数无界。

奇偶性

注图：（ 1）为奇函数（ 2）为偶函数

1．定义

一般地，对于函数f(x)

（ 1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有 f(-x)= － f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做奇

函数。

（ 2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。

（ 3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立， 那么函数 f(x) 既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（ 4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立， 那么

函数 f(x) 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、 偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，

则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析： 判断函数的奇偶性， 首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、

偶性的定义经过化简、整理、再与f(x) 比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2．奇偶函数图像的特征：

定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y 轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《＝＝》 f(x) 的图像关于原点对称点（ x,y ）→（ -x,-y ）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

(1) .两个偶函数相加所得的和为偶函数

(2) .两个奇函数相加所得的和为奇函数

(3) .一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数

(4) .两个偶函数相乘所得的积为偶函数

(5) .两个奇函数相乘所得的积为偶函数

(6) .一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数定义域(高中函数定义）设A,B 是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f, 使对于集合 A中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合 B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合 A。其中， x 叫作自变量， x 的取值范围 A叫作函数的定义域；值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域, 在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

（1）化归法；（ 2）图象法（数形结合），

（3）函数单调性法，

（4）配方法，（ 5）换元法，（ 6）反函数法（逆求法），

（7）判别式法，（ 8）复合函数法，（ 9）三角代换法，（ 10）基本不等式法等关于函数值域误区

定义域、对应法则、 值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中， 实行“定义域优先”的原则，无可置疑。 然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上， 定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮， 何况它们二者随时处于互相转化之中 （典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲， 求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明， 如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗？“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合

(即集合中每一个元素都是这个函数的取值） ，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件） 。也就是说 : “值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。