2021哈佛-麻省数学竞赛春季赛 代数数论组 中文翻译

代数数论组

比赛时间:2021年3月6日

1.求所有满足为整数的正整数的和.

2.求满足 以及方程

的正整数对 的个数.

3.整系数多项式满足 且 求的可能的最小值.

4.已知为一个三元齐次次多项式, 对任意实数,均满足 且 . 若 求.
注:为一个三元齐次次多项式, 指对任意实数,均有.

5.已知为前10个素数的乘积. 且

其中表示不超过且与互素的正整数的个数.为有序实数对. 计算

6.已知正整数满足 , 且区间中的倍数的个数多于的倍数.
求的最大值.

7.已知模相等的复数满足

且 我们可以将其表示为 , ,其中 为实数.若的值为,其中为互素的正整数. 求.

8.对正整数,设.对任意正整数定义

求满足 以及的正整数的个数。

9.首一的三次多项式满足,对任意实数,均有. 对实数, 设表示方程的互异的实根的个数. 已知取遍所有实数时, 的所有值所组成的集合为 {1,5,9}. 求的所有可能值的和.

10.正整数集合满足如下条件:
对任意正整数数列 中至少有一个数属于集合.
若正整数满足 且 , 则.
已知的天然密度为, 求可能的最小值.
注:的天然密度为, 即