柴淑兰——直线与圆中的那些最值问题


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邹生书,男,1962年12月出生,本科学历,理学士学位,中学数学高级教师,黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月,在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等,二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。


直线与圆中的那些最值问题

山西省朔州市朔城区一中     柴淑兰

【解法3】【数形结合法】引入角,利用初中平面几何知识,用三角函数表示面积,去研究最值取得的条件,获得斜率,直接写方程【直接法】

【练习二】

阿波罗尼斯是古希腊数学家,他与阿基米欧,欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”,以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内两定点距离比值为定值λ(λ>0,λ≠1)的动点的轨迹,已知在△ABC中,sinA=2sinB,且AB=2,则△ABC面积的最大值为(     

提示:这三个题动点P的轨迹都与圆有关,揭示了这个本质特征后,剩余问题都好解决了.

【练习三】

【说明】解法一看似简单但容易出错,约束x的范围求解比较麻烦。解法二看似繁琐,但适用范围广,由k的取值范围容易得到x的范围。第一问轨迹判断不准确到位,直接影响第二问,所以应该在直线与圆的教学中把两种方法的来龙去脉彻底搞清楚,为后面的学习扫平障碍。

【总结】所有这些,都属于双变量约束条件下的最值问题,这种问题一般有四种解法,一是代入消元法(注意变量范围的跟踪)、二是数形结合法,三是三角代换法、四是基本不等式法。必修二是继函数图像与性质、向量等有一定数形结合思想方法基础上,进一步研究曲线与方程的基础,体现“数”与“形”相互之间的自然转化和利用,以形助数,以数助形,把代数和几何有机结合起来,线性规划理论、复数几何意义、数列“特殊函数”、三角函数、导数及应用、空间几何中的向量法等,一维、二维和三维,研究曲线(包括直线、点列)、图形(平面的和空间的几何体),数中有形,形中有数,不仅仅是数学,还有物理等其它学科,体现了古代人类的智慧,世界传统文化的博大精深,数形结合思想是我们进一步进行科学探究取之不尽用之不竭的源泉。通过对这部分内容进行复习汇总,加强对学生在这方面的培养和引领,提高学生的学习能力,为进一步学习圆锥曲线乃至将来的学习与研究打下坚实的基础。

作者文章链接:

柴淑兰、王丽敏——用传统方法研究空间角

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柴淑兰、王丽敏——几道向量题的一题多解

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柴淑兰、王丽敏——例说三角形中最值问题的常用处理策略

柴淑兰——关于“高中数学必修1第一章”难点处理策略(“待续”完整版)

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柴淑兰,山西省朔州市朔城区一中数学教师,副高级职称,省学科带头人,区教学能手,学科名师、优秀班主任、师德标兵,从教29年,坚持工作在教学第一线,主持年级教学工作,兼任班主任,工作踏实,教学风格严谨细致,注重基础,追本溯源,管理班级粗中有细游刃有余,深得学生敬重和家长好评。

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