科学瞎想系列之一二九 电机绕组(7)

绕组是电和磁的桥梁，匝链绕组的磁通发生变化时，绕组中就产生感应电势；反过来绕组中通以电流时，就会产生磁场，因此电机绕组的核心作用就是产生感应电势和磁势，电势和磁势是反映绕组电磁特性的两个方面，二者虽然物理意义不同，但分析时具有相同的数学形式，存在着许多内在的共性，从电势观点所得出的某些分析结论，往往可以直接用于磁势的分析。接下来我们将分几期来分别介绍绕组产生的电势和磁势，揭示它们之间的内在联系和共性规律，本期先从绕组的感应电势讲起。表征绕组中感应电势的物理量包括电势的大小(幅值、有效值)、波形、频率以及相位等，这些都与气隙磁场的大小、转速、波形、初始位置等密切相关，本期先讲正弦磁场下绕组的电势，即基波感应电势。首先从单根导体的感应电势开始，推导出单匝线圈的感应电势，再根据线圈的连接关系进一步推导出线圈组的电势，进而得出相电势和三相绕组的电势。

1 单根导体产生的基波电势
1.1 基波感应电势的波形
      如图1所示，为一台两极同步电机示意图，定子表面只有一个槽，槽内嵌放一根导体。

当气隙磁场旋转时，导体便“切割”气隙磁场，产生感应电势。设气隙磁密为正弦分布：
b=B₁·sinα             ⑴
      式中：B₁为气隙磁密幅值；α为距离原点的电角度，原点位置取两极中间的分界点。
      设t=0时α=0，即导体初始位置位于两极分界点，则随着磁极以角速度ω旋转，α=ωt，则导体中的基波感应电势即为：
e₁=blv=B₁lv·sinωt
=2^½·E₁·sinωt            ⑵
      式中：E₁=B₁lv/2^½为导体感应电势的有效值；l为导体的有效长度；v为导体“切割”磁力线的速度。由⑴、⑵式可见，若气隙磁密呈正弦分布，以恒定转速旋转时，则定子导体中的感应电势就是随时间呈正弦变化的交流电势，感应电势随时间变化的波形如图1c所示。
1.2 基波感应电势的频率
      如图1所示两极电机(极对数p=1)转子每旋转一周，导体中的感应电势就交变一次，若电机为p对极，则转子每旋转一周，导体中的感应电势就交变p次，设转子转速为n(转/分钟)，则感应电势的频率即为：
f=pn/60              ⑶
      由⑶式可见，感应电势的频率与电机的极对数和转速密切相关，式中的n被称为同步转速，常用n₁或n_s表示。
1.3 单根导体感应电势的大小
      由⑵式可知，单根导体的感应电势有效值为：
E₁=B₁lv/2^½           ⑷
      其中线速度：
v=π·D_i·n/60=2τf        ⑸
      式中：D_i为定子内径；τ=πD_i/(2p)为极距。
      将⑸式代入⑷式得：
E₁=B₁·l·(2τf)/2^½
=(2^½)·f·B₁·τ·l           ⑹
      若气隙磁密为正弦分布，则磁密的平均值为：
B_av=(1/π)∫_【0~π】B₁sinα·dα
=(2/π)·B₁                  ⑺
B₁=(π/2)·B_av          ⑻
      将⑻式代入⑹式得：
E₁=(2^½)·f·(π/2)(B_av·τ·l)
=2.22·f·Φ₁               ⑼
      式中：Φ₁=B_av·τ·l，为每极磁通(Wb)。
2 单个线圈的基波电势
2.1 整距线圈的电势
      一个单匝线圈由两根导体反向串联组成，由于两根导体的电势都是随时间正弦变化，因此可以用相量来进行和运算。设两个导体的电势相量分别为E₁′和E₁″，则这个单匝线圈的电势即为：
E_c1=E₁′-E₁″          ⑽
      对于整距线圈，当一根导体位于N极中心线时，另一个导体必然位于S极的中心线处，如图2所示，两个导体的感应电势相位正好相反，即E₁′=-E₁″，二者反向串联后得到单匝线圈的感应电势即为：
E_c1(整距)=E₁′-E₁″=2E₁′
=4.44·f·Φ₁                (11)

如果线圈的匝数为W，则线圈的电势即为：
E_c1(整距)=4.44·f·W·Φ₁   (12)
      这就是传说中的“4.44公式”，它是电机学里的经典公式，搞电机的BOSS们应该对它烂熟于心。
      以上是从“Blv”观点出发推导出的这个公式，这个公式还可以通过“e=-W·dΦ/dt”的观点推出。设t=0时整距线圈的两个边分别位于NS极的分割线上，此时匝链线圈的磁通最大，为Φ₁ ，若气隙磁场为正弦分布，随着气隙磁场的旋转，匝链线圈的磁通将随时间呈余弦变化，即：
Φ=Φ₁ ·cosωt              (13)
      则线圈的感应电势：
e=-W·dΦ/dt
=-W·ω·Φ₁ ·(-sinωt)
=W·2πf·Φ₁ ·sinωt       (14)
     其有效值为：
E_c1(整距)=f·W·Φ₁ ·(2π/2^½)
=4.44·f·W·Φ₁             (15)
      由(12)和(15)可见，用“Blv”观点和“e=-W·dΦ/dt”观点推导出了同样的结论。
      顺便解释一个许多BOSS纠结的问题，有人觉得“Blv”观点是错误的，因为通常导体是嵌放在铁心槽里的，而槽内的磁场B几乎为0，用这个观点推导出感应电势也应该是几乎为0。关于这个问题可以这样理解：首先“Blv”观点来自初中物理中导体“切割磁力线”产生感应电势这个知识点，由于在初中阶段的数学知识所限，不大可能用电磁场的概念和相关数学模型去解释物理现象，建立非常精确的理论体系，只能用初等数学的知识来描述电磁感应现象，因此在初中阶段“Blv”观点可以完美地解释和描述导体在匀强磁场下做切割磁力线运动产生感应电势这种非常简单场合下的物理规律。对于像电机中这样复杂的电磁场问题，再用“Blv”观点去精确推导一些结论的确存在一些瑕疵，应该采用更加精确的电磁场数学模型——麦克斯韦方程组来推导，即采用“e=-W·dΦ/dt”观点计算感应电势更加确切。虽然“Blv”观点有瑕疵，但瑕不掩瑜，既然“Blv”观点推导过程中，B采用的是气隙磁密，而不是槽内磁场的磁密，却得出了用“e=-W·dΦ/dt”观点推导同样的结论，那你就认为“Blv”观点中的B代表气隙磁密，就不要钻牛角尖非得纠结这个B不是槽内磁密了！如果你一定要较劲，认为“Blv”中的B就应该是槽内磁密，OK！那我们就死磕到底，如果这里的B是槽内磁密，那么这里的v就必须得是槽内导体切割磁力线的速度，而不能是气隙旋转磁场的线速度，那么槽内导体切割磁力线的速度该怎么算呢？我们说槽内导体“切割磁力线”，是指一开始磁力线集中在这个槽的一侧的齿中(假设右侧齿中)，然后在极短的时间内快速“跳变”到槽的另一侧(左侧)齿中，我们把这个过程称为槽内导体“切割了磁力线”，这个过程极其短暂以致于几乎不用时间，也就是说，切割磁力线的速度是接近无穷大，这样槽内的磁密B趋近于0，而切割磁力线的速度v却趋近于无穷大，一个无穷小和一个无穷大相乘并不一定是0，那应该是多少呢？告诉你经过严谨的科学推导，二者的乘积就等于气隙磁密与旋转磁场的线速度的乘积，考虑到BOSS们的数学基础和篇幅所限，这里就不详细推导了，只需你记住一点，就是用“Blv”观点推导时，其中的B要用气隙磁密，而不是用槽内磁密即可，如果非得较劲，我们也能跟您死磕到底！
2.2 非整距线圈的基波电势
      若线圈不是整距线圈，即短距Y₁＜τ(或长距Y₁＞τ)，则一个线圈中的两个导体产生的感应电势相位就不是正好反相位，而是相差了γ=(Y₁/τ)·180º的电角度，如图2c所示，此时线圈的电势就不应该是两根导体电势E₁′和-E″的代数和，而是二者的相量和，以短距线圈为例：
E_c1(短距)=E₁′∠0º-E₁″∠γ
=2E₁′· sin[(Y₁/τ)·90º]
=4.44·K_p1·f·Φ₁           (16)
      若线圈的匝数为W，则单个线圈的电势为：
E_c1(短距)=4.44·K_p1·W·f·Φ₁ 
=K_p1· E_c1(整距)       (17)
      式中：K_p1称为线圈的基波短距系数，其物理意义是线圈短距时由于两根导体的电势不是正好反相位，二者相量叠加后的线圈电势大小就不会等于整距线圈的电势(单根导体电势的2倍)，而是略小于整距线圈的电势，相当于短距线圈的电势在整距线圈电势基础上打了一个折扣，这个折扣就是K_p1。
K_p1=E_c1(短距)/E_c1(整距)
=sin[(Y₁/τ)·90º]       (18)
      显然对于整距线圈K_p1=1；对于短距线圈K_p1＜1，以上推导同样适用于长距线圈，说明非整距线圈的电势必须在整距线圈电势基础上打个折扣。
3 线圈组的基波合成电势
      若q个分布线圈串联构成一个线圈组(极相组)，则由于线圈分布，每个线圈的电势并非同相位，而是相邻两个线圈电势相差α电角度，因此这q个分布线圈串联后的合成电势并不是单个线圈电势的q倍，而是必然在q倍的基础上再打一个分布系数K_d1的折扣，如图3所示，即：
E_q1=E_y1∠0º+E_y1∠α+E_y1∠2α+…+E_y1∠(q-1)α
=q·K_d1·E_c1(短距)
=4.44q·K_d1·K_p1·W·f·Φ₁ 
=4.44q·K_dp1·W·f·Φ₁ 
=4.44·K_dp1·(qW)·f·Φ₁      (19)
式中：
K_d1=[sin(q·α/2)]/[q·sin(α/2)]   (20)
      其中：W为单个线圈的匝数；α为串联线圈中两个相邻分布线圈电势之间的相位差。
α=t·360º/Z₁                 (21)
      其中：t为单元电机个数；Z₁为定子总槽数。对于整数槽绕组(t=p)，α即为槽距角，则将式(21)中的t用极对数p取代即可；对于分数槽绕组，则α应为串联线圈组间的相位差，应从槽电势星型图中求取，这里又分两种情况：若q的分母d为奇数，则直接用式(21)计算α即可，即α为槽电势星型图中两根相邻相量间的相位差；若d为偶数，则α应取式(21)计算出的α的一半，即按下式计算：
α=t·180º/Z₁                 (22)
      详见本系列文章之电机绕组(4)中的α′(对d为奇数的情况)或α′/2(对d为偶数的情况)。

K_dp1=K_d1·K_p1             (21)
      称为基波绕组系数，即短距系数与分布系数的乘积，相当于短距分布绕组的感应电势应该在整距集中线圈基础上打一个短距系数折扣，再打一个分布系数折扣后的总折扣系数。
4 相绕组的基波电势
      如果多个线圈组通过串并联组成一相绕组，那么该相绕组的感应电势取决于该相绕组的总串联匝数W，相绕组的基波感应电势为：
E_Φ1=4.44·f·K_dp1·W·Φ₁    (22)
      再次强调！式中的W为每相串联匝数，即一条支路中所有线圈的总匝数。
5 三相绕组的基波感应电势
      根据绕组的接法不同，计算三相绕组的线电势。如果是Y接，则三相绕组的线电势为相电势的根号三倍；如果是Δ接，则三相绕组的线电势与相电势相等。
6 感应电势与磁链的相位关系
      通常在画电机的时空相量图时，还需要搞明白感应电势和气隙磁场间的相位关系。根据e=-W·dΦ/dt，可知e与Φ之间的相位关系是：感应电势e滞后绕组所匝链磁通Φ 90º相位。需要说明的是，这里的Φ是指匝链绕组的磁通，它是随时间呈正弦变化的物理量，即e和Φ都是时间的正弦函数，即随着气隙磁场的旋转，匝链绕组的磁通也随时间呈正弦变化，但在电机中，匝链绕组的磁通是一个幅值不变、大小随空间呈正弦变化的旋转磁场，在旋转过程中引起的匝链绕组磁通随时间呈正弦变化的，从这个角度看，Φ也可看着是一个空间矢量，随着它旋转，引起了绕组的匝链磁通随时间变化，在电机的时空相量图中，往往要把随时间变化的时间相量和随空间变化的空间矢量统一画到一起。设在一开始(t=0时刻)旋转磁场的中心与绕组的轴线对齐，如图4a所示，则此时与绕组匝链的磁通Φ₁最大，但由于此时绕组的两条边正好位于磁场为0的位置，因此，此时绕组的感应电势e=0，当磁场旋转过90º电角度时，即磁场中心线与绕组轴线成90º时，此时绕组匝链的磁通为0，但此时由于绕组的两条边正好位于磁密最大处，绕组的感应电势却最大，如图4b所示，由此可见当绕组匝链的磁通为最大时，绕组的感应电势为0；而当磁场旋转过90º电角度(ωt=90º)时，绕组匝链的磁通为0，但绕组的感应电势却达到最大，因此如果把Φ₁看作绕组所匝链磁通，则Φ₁即为时间相量，在时间上看，绕组感应电势在时间上滞后所匝链磁通90º；如果把Φ₁看着旋转磁场的最大磁通量，则Φ₁即为空间矢量，那么从空间上看，绕组感应电势在空间上同样滞后旋转磁场90º的空间电角度。因此在画电机时空相量图时，无论把Φ₁看着时间相量还是空间矢量，都可以把感应电势画在滞后磁通90º的位置，如图4c所示。

以上分析，仅是当气隙磁场呈正弦分布时绕组的感应电势，或者说是在任意气隙磁场下绕组的基波感应电势，本文分析了基波感应电势的频率、相位和大小，并重点分析了感应电势大小的计算方法。对于实际电机而言，气隙磁场中除了基波磁场以外，往往还存在着许多谐波磁场，即气隙磁场往往并不是严格呈正弦分布，这样就会在绕组中产生一系列谐波电势，关于绕组感应电势的谐波分析会更加复杂，我们下期将专门进行讲解，敬请期待！