压轴题打卡91：矩形有关的综合问题分析

如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F

（1）如图1，求证：AE=DF；

（2）如图2，若AB=2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，求证△GEF是等腰直角三角形；

（3）如图3，若AB=2√3，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．求线段AE长度的取值范围．

参考答案：

考点分析：

四边形综合题．

题干分析：

（1）根据矩形的性质得到∠EAM=∠FDM=90°，根据全等三角形的判定定理得到△AEM≌△DFM（ASA），由全等三角形的性质即可得到结论；

（2）过点G作GH⊥AD于H，推出四边ABGH为矩形，得到∠AME+∠AEM=90°，由于∠AME+∠GMH=90°等量代换得到∠AEM=∠GMH，推出△AEM≌△HMG（AAS），根据全等三角形的性质得到ME=MG，求得∠EGM=45°．根据全等三角形的性质得到ME=MF．即可得到结论；

（3 ）根据四边形ABCD是矩形，得到∠A=∠ADC=90°，等量代换得到∠AEM=∠DMC，根据相似三角形的性质得到AE/MD=AM/CD，代入数据求得AE=2√3/3，当E、B重合时，AE最长为2√3，于是得到结论．