重庆市第一中学高2021届第二次月考第8题：三角形重心垂直，数量积倍数范围

重庆·云师堂

凡刷题者，应意在笔先，切忌随心所欲，百无禁忌。

高手不都随心所欲，挥洒自如？

然。但在成为高手之前，先照猫画虎，如法炮制。

果真那样，狂放不羁的我怕是难以自在。

那不叫狂放不羁，最多算是河马发疯。笛卡尔的叨有云：刷题亦如作画，先范山模水，做到远人无目，远树无枝，远山无皴，远水无波……

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

一眼相中此题，是那若隐若现之间透着神秘的诱惑。对称的结构，简洁的笔调，丰富的内涵还在其次。

素来钟爱向量，不容瑕疵，故原题已略作矫正。强迫症使然，无可救药。

数量积之范围，可从基底法与坐标法双向操刀。结果，或转化为函数的值域，或转化为基本不等式，或通过几何意义求解。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

重心是三角形最具魅力的特征，亦是平面向量最热衷的考点。

法1，基底法。取爪子形的两边为基底，将所涉向量用基底表示，则目标转化为CA长度的函数。利用构成三角形的条件——两边之和大于第三边，得到CA的范围，由此可得目标函数的取值范围。

上述方法，转化较多，易造成逻辑混乱，需仔细体会。

法2，建系，坐标法求解。凡遇上垂直、对称、中点等元素，坐标法不妨一试。

以AB中点为原点，AB所在直线为x轴建系，将目标转化为坐标运算。显然，法2较之法1易于理解，运算亦更简捷。

到此，功德圆满。但神秘的诱惑尚未浮现，直教人欲罢不能。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

研究几何，动点轨迹是不可回避的对象。

透过法2不难发现，重心G的运动轨迹是单位圆，那么动点C呢？如果明确了动点C的轨迹，那么本题将易如反掌，唾手可得。

在此之前，先介绍一个工具：

极化恒等式可推出三角形模式，此更寻常。无甚特别，将平行四边形分割为两个三角形而已。

法3深刻反映了其中的关系：重心G在以线段AB的中点O为圆心，1为半径的单位圆上，而顶点C则在以O为圆心，3为半径的同心圆上。由此可知CA的长度介于两圆的半径和与半径差之间，故范围一蹴而就。

在处理数量积时，极化恒等式功不可没。其基本套路是，遇到数量积，取夹角对边的中点（若不易处理，换基底）。

4  操作

形同陌路，抑或一见如故