隐圆问题:中考数学之无中生圆思想（一） / 开普饭

在中学平面几何中，添置辅助线是处理几何求解及证明的精髓。辅助线添得巧妙，往往会化繁为简，化难为易。除此之外，在一些直线形的几何题目中，经常可以通过构造辅助圆，使这些非圆的平面几何图形中的有关线段、角等突然涌现出许多圆的性质，使我们能轻易地发现相关的性质关系，架起题设条件和结论的桥梁，得到圆满简捷的证明或求解；亦或者，在动点类问题中，可以通过圆的相关性质判断出动点轨迹为圆，从而作出其轨迹圆求解出最值问题或轨迹长。因此，圆的从无到有经常起到了四两拨千斤的作用，孔老师谓之曰：无中生圆思想。此思想在几何证明、几何求解，尤其是线段最值类问题中有大妙用。怀揣无中生圆思想，洞悉关键信号，掌握添加辅助圆或轨迹圆的技巧，从而达到独辟蹊径、巧思妙解，即为创作本系列的用意所在。

基本方法篇

一

方法一：定/动边对直角

例1-1-1：定边对直角

分析：问题为求线段EF的最大值，那么它的两端点E和F有什么特点呢?不难发现，F是定点，E是一个动点。但E点并不是随意乱动，而是不管你如何动，必须保证∠BEC=90°，这就是一个动直角。求定点与动点连线的最值问题，势必要确定动点的轨迹，若是直线，那就点线之间垂线段最短，若是曲线再分析何时最近。接着观察这个直角所对的斜边BC，为固定的线段，则E点动的过程中，不仅保证∠BEC=90°，还保证这个直角的两端点是个定线段。这让你想到什么？一个圆的直径所对的圆周角总是直角！那么，可令BC为直径，取其中点为圆心作圆，即E点的轨迹圆。OK，“无中生圆”完成了，问题就简化成了“圆外一定点F到圆上的最长距离为多少”。

接下来咱们要知道一个基本事实：如图，A为圆外或园内一点，在圆上找一点P使得PA最小。这里利用的是“点圆之间，点心线与圆截距最短，点心线延长线与圆截距最长”来解决。即图中AP为圆外一定点A到圆的最短距离，AP'为A到圆的最长距离。因为此类最值问题最终往往要连点心线或者使线段穿过圆心，故谓之“一箭穿心”！

那么这题把E点的轨迹圆作出来之后就很Easy了，一箭穿心不就成了？

解答：由题意知∠BEC=90°，∴点E在以BC为直径的圆上，设圆心为O，即E点轨迹为⊙O，如图所示：

由图可知，连接FO并延长交⊙O于点E'，此时E'F最长。

则：

例1-1-2：定边对直角之隐藏的直角

刚刚的例1-1-1为一道典型“定边对直角类”的“一箭穿心”最值问题，但其他题目有时并不直接给你这个动态的直角，而是“藏着掖着”给出直角，这就要靠同学们提炼出图形中的相应关系，挖掘出直角再“无中生圆”。比方说安徽省2016年中考选择题压轴(第10题)就是如此(这里选项已省略)：

分析：问题为求线段CP的最大值，且C是定点，P是动点。之前一题动点动的过程中保证了以自己为顶点的角是一个直角，那么这题没有直角怎么办？别急，孔老师曰：审题三遍，其义自见！这里给的条件∠PAB=∠PBC是可以帮你挖掘出直角的！∠ABP+∠PBC=∠ABC=90°，则∠ PAB替换∠PBC就有∠ABP+∠PAB=90°，即∠P= 90°。这岂不和例1-1-1情况相同？P点不管如何动，必须保证∠P= 90°，还保证AB为直径，即可“无中生圆”！再“一箭穿心”！

解答：∵∠ABC=90°

∴∠ABP+∠PBC=90°，

∵∠PAB =∠PBC，∴∠ABP+∠PAB=90°→∠P=90°

∴点P在以AB为直径的圆上，设圆心即AB中点为O，即P点轨迹为⊙O，连接CO交⊙O于P'，则CP'为CP最小值。

在Rt△OBC中：

∴CP'=CO-OP'=5-3=2，即CP最小值为2

例1-1-3：动边对直角

其实，通过“直径所对圆周角为直角”这一定理作出辅助圆的题型，除了“定边对直角”，其实“动边对直角”也是可以生圆的，这就不是“一箭穿心”问题了，你生出的圆可不是轨迹圆咯，这里生出的是辅助圆：

分析：本题不再是“定边对直角”，因为E为动点，故90°所对的边AE变成了长度可伸缩的线段，这就叫“动边对直角”。那么这里就无法“无中生圆”了吗？别急，虽然是动态的，我们可先把画面定格在任意一帧，画出圆再说！画出△ADE的外接圆后，如图，其直径AE可伸缩，故这是一个正在动的、可放大缩小的圆。