从数系的扩充浅谈实数的学习

上周公众号上有七年级的家长朋友给我发消息，说到孩子在实数那一章有些理解不透彻，询问有没有什么学习的诀窍。我想，这里还是一个概念理解的问题。

我们可以回顾一下，从小学到初中我们所学习的数。从诸如1、2、3、4……这样的正整数（结绳计数等），到引入“零”的概念后的自然数，再到因为分配问题而引入的分数（真分数，然后是假分数、带分数），再到初中引入与正数表示相反意义的负数（负数的引入是源于我们要表示相反意义的量，而性质上是表示比0小的数），从而完善了有理数系。大家注意到，至此我提出了一个“数系”的概念。数系，简而言之，数就是指数字，而系就是指能成体系。何谓能成体系？简单地讲，就要有完备的运算法则和运算律（初中阶段，我们简单地这么理解，大学时会有严格的概念）。有理数系，就是有关有理数（所有能表示成分数形式的数）及其运算法则、运算律。

实数事实上也是一种数系，它是有理数系的扩充。数系的扩充需要满足包含性，即所有的有理数都是实数，而实数中却有不是有理数的数，我们称之为无理数。与此同时，数系的扩充对运算法则和运算律也有要求，有理数适用的所有运算法则和运算律，在实数里都适用。故而，我们说，实数的学习是建立在有理数学习的基础之上的。所以我在回答之前提到那位家长的问题的时候谈到，如果概念有问题建议可以先回顾下学习有理数时的相关概念。

在学习有理数时，我们引入负数之后，又引入了研究有理数的工具——数轴。而当时我们仅仅谈到所有的有理数都可以用数轴上的点表示，同学们却没有反过来思考，数轴上的点是不是都表示有理数呢？答案是否定的。学习了实数之后，我们了解到还有些数是不能表示为分数形式的，它们是无限不循环小数，我们将它们称之为无理数，有理数和无理数统称为实数，而数轴上的点与实数构成了一一对应的关系，也即数轴上的点都表示实数，而实数都可以用数轴上的点表示。之后我们学习了研究有理数的相关概念，诸如相反数——只有符号不同的两个数（0的相反数是0；符号不同，绝对值相等），绝对值—— 一个数在数轴上所对应点到原点的距离（既然是用距离定义，则其具备非负性），倒数——乘积为1的两个数互为倒数。这些概念的引入按之前所言，不仅适用于有理数，还适用于无理数，也即适用于实数。这些核心概念的提出，是我们研究实数的基石。在运算方面，相较于小学的加、减、乘、除，我们提出了乘方（求几个相同因数积的运算）和开方（初中仅接触开平方和开立方）。乘方运算相对简单，在乘方概念提出后我们给出了一种全新的计数方法——科学计数法（起源于航海和天文，用于表示较大或较小的数）。乘方和开方运算事实上是逆运算，就好比加法和减法。加法的学习相较减法简单，是因为做加法是我们习惯的正向思维，而相应的减法就是逆向思维。乘方与开方运算是一样的，逆向的总归困难些，需紧扣定义。开平方运算需要注意，不是所有的数都可以开平方、都有平方根，原因在于任何数的平方都是非负数，故而只有非负数才有平方根，并且正数的平方根是有两个的，因为绝对值相等的两个数其平方也相等，负数没有平方根。立方根就没有这么苛刻，因为立方运算不改变数的符号，故而所有的数都有立方根，且只有一个立方根。至于运算顺序，依旧遵循小学所学，从高级运算到低级运算（即先乘方开方，后乘除，最后加减），有括号先算括号里面的。运算律方面同样的，加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，这些基本的运算律都适用，但是要注意的是引入负数后性质符号的问题。

简单谈这么多，实数的学习是代数学习的基础，是相关代数式学习的前提，其中的核心概念较多，必须清晰地掌握。从有理数到实数，有其一脉相承的地方，亦有因为数系扩充带来的不同，要抓准概念。至于计算，可能对于部分同学是老大难的问题，必须多练，尤其是做错的题目一定要自己重新再算，直到算对为止，这样才明白自己是在什么地方错了，如此才能提醒自己下次不会再错。