只要抓住这一点，我们就可以轻松地认识导数和偏导数

初学微积分，最绕不过去的当然是导数了。我们试着百度了一下导数，得到下面的定义：

当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。

也有同学是从物理学角度了解微积分的，说对于一个s-t位移方程式，导数就是速度，二阶导数就是加速度。跟上面的定义差不多，都是极限值。

有同学总是习惯将微积分与“动态”、“极限”这样的字眼联系在一起，在脑海中烙下“结果极限近似”的误解。其实，很多时候我们只是用极限的方法去理解和证明它，结果不见得都是极限近似。比如微分集合与积分差就是曲线在不同空间维度上的互逆转换，它是完全等价的，导数也一样。

先看一个简单函数的求导数过程，以函数f(x)=x^2为例：

之所以说导数是极限近似的，是不是因为那个略去的无穷小Δx?

下面我们做一个不严谨的假定，假定0是可以被除的，重要的事情说三遍：假定！假定！假定！

在曲线y=x^2上取任一点对应x。

我们就停留在这个点上求导数，不论向左还是向右，它在平面坐标轴上的变化都为0，那么：

结果是不是一样的？连极限运算都不用了吧。

通过以“0可以被除”的假定为前提的求导过程，我们可以这样理解：

对于一段连续的函数曲线f（x，y）=0，可以把任一点的空间状态拿出来单独描述，这一描述就是导数f'(x)，如果需要对这个点进行量化，就赋予它一个无穷小的自变量Δx，结果就是微分f'(x)Δx。导数f'(x)和微分f'(x)Δx是曲线上任一点的一体两面，一个用来描述状态，一个用来量化尺度。

当然，如果Δx不是无穷小，微分f'(x)Δx也可以量化曲线的变化尺度，我们后面再讲。

对f（x，y）=0，做一下补充说明。把y=x^2变换一下形式，得x^2-y=0，就得到f（x，y）=0，可知道它是一条曲线。如果f（x，y）≠0，x^2-y=z，再变换一下x^2-y-z=0，就得到f（x，y，z）=0，可知道它是一个曲面。依次类推，f（x，y，z，w）=0就是一个曲体，f（x，y，z，w，v）=0就是一个超曲体等等。

那么导函数是怎么回事呢？就像你观察一个原子内部，发现里面还藏着一个小宇宙一样，在一个曲线空间的点上，开拓一个新的曲线空间。求高阶导数呢，就是一层层嵌套的曲线空间，直至开拓出一个常数空间，导数才归0，不能继续向下开拓。

偏导数理解起来可能要难一点点，但道理是相同的，无论对曲面、曲体还是超曲体求导都是要压缩掉一个空间维度。

以对一个曲面f（x，y，z）=0求导为例，压缩掉一个空间维度就是要描述曲面上每一条曲线的空间状态。因为曲面有两个方向的自变量x和y，相当于取曲面上横竖垂直交叉的两条曲线，我们先视其中一个方向的自变量为常数，然后对这两条线分别求导。

例如曲面函数z=x^2*y^2（它的曲面差不多相当于一个窄口高杯子），对其求偏导数得：

我们前面讲了，对曲线求导得到的是点的空间状态。但当x或y作为常数布满整个定义域区间时，这些点就连成一条线了，所以曲面函数的偏导数是对x，y两个方向上曲线的空间状态的描述。

于是，曲面函数的全微分的表述就要考虑为两个方向的微分之和：

如果再增加一个自变量，对一个曲体w=x^2*y^2*z^2求导，用图形就没法描述了，但求导方法是一样的：

它的全微分：