高中数学：直线斜率公式的应用

1、比较大小

例1、若

，则（ ）

A.

B.

C.

D.

解：因为

，表示函数

的图象上的点（x，y）与坐标原点O连线的斜率，如图1，则

图1

由图象可知：

即

，选C。

也可以考察函数

的单调性，即利用它的导数来严格求解，但对于选择题、填空题，用数形结合的思想将问题转化为过曲线

上的点与原点的直线的斜率。

2、求最大值或最小值

例2、设实数x，y满足

，则

的最大值是___________。

解：如图2，实数x，y满足的区域为图中阴影部分（包括边界），而

表示点（x，y）与原点连线的斜率，则直线AO的斜率最大，其中A点坐标为

，此时

，所以

的最大值是

。

图2

本题还可以设

，则

，斜率k的最大值即为

的最大值，但求解颇费周折。

例3、当

时，函数

的最小值是（ ）

A.2

B.

C.4

D.

解：原式化简为

，则y看作点A（0，5）与点

的连线的斜率。

图3

因为点B的轨迹是

即

过A作直线

，代入上式，由相切（△＝0）可求出

，由图象知k的最小值是4，故选C。

也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。

3、证明不等式

例4、已知

，且

，求证

。

分析：不等式的左边的结构与斜率公式

相似，

的几何意义为点

与点

的连线的斜率。

证明：如图4

图4

因为

，所以点

在第一象限且必在直线

的下方

因为

，所以点

在第三象限且在直线

上

连结OP、PM，则

因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角（均为锐角）

所以

即

4、求函数的值域

例5、求函数

的值域。

解：设

，则有

因为

，所以

故

如图5，则y可看作两点

图5

连线的斜率，而点P在半圆

上，过点Q与圆

有公共点的直线的方程为

，则

化简得：

解得：

或

（由图知舍去）

则函数

的值域为

5、解应用问题

例6、如图6，A、B、C、D四村在矩形ABCD的四个顶点处，

千米，BC＝4千米，在四村之间要修如图所示的路，其中

。怎样修才能使总的路长最短？

图6

解：分别延长FE、EF与AB交于H，与DC交于G

设

（α为锐角），则

则道路总长

要求s的最小值，只需求

的最小值，即求点P（0，2）与点Q（

）所成直线的斜率的最小值。

因为Q点的轨迹为

如图7，由点P、Q所确定的直线方程为

图7

当直线与

相切时，

，即α＝60°

本题通过设参数将问题转化为求直线的斜率的最小值的问题。