如何深挖知识的本质

大学的学习要更加注重学习方法，并且这些方法与高中我们所习惯的方法有很大不同。可能很多同学也在苦恼，“我高中的数学成绩不错的，为什么上了大学反而跟不上了呢？”下面我们就来聊一聊这件事。

大学的学习很多是以高中为基础的，微积分初期的知识与高中结合也很紧密，高中学得好，在初期会有很大的帮助；但是，随着课程越讲越多，知识越讲越深，你突然发现自己跟不上了，甚至听不懂了，为什么？

虽然说较深入的微积分知识与高中数学关联不是很大，但是我们忽略了一件事，就是数学思维。数学的思维方式是贯穿始终的，不管在学什么，学的有多深，良好的数学思维在其中起到了至关重要的作用。

数学思维怎么来呢？数学思维来源于一种思考方式，或者思考的习惯。如果你能把一个知识点挖掘的很深入，很透彻，那么你对于知识点的理解就会更加深入，也就能触摸到知识点的本质；当然，从这个本质出发，你可以将知识点推广，甚至自己推导出一些“定理”。这便是我所说的“深挖”。

“深挖”知识点的重要性不言而喻，但是可能很多人限于各种因素，不会去过多的想这些问题。有的人会想，“我水平这么差，表面的东西还解决不了，哪有功夫去管这些什么本质。”“深挖什么的，留给数学专业的人去做吧，我把定理背会就可以了。”这样的想法是危险的，也是不可取的。“深挖”的意义就在于你可以对知识点有一个更加深入的理解，从而强换你对于知识点的掌握。这是一个有利的循环。所以不管你“水平如何”，都应该有一个善于思考的好习惯，善于挖掘的能力。

那么，我们如何去“深挖”一个知识点呢？

首先，我们对于知识点的概念，或者定义，要有准确的掌握。举个例子，我问你导数的定义是什么？如果你告诉我导数的定义是切线斜率，那就不对了。我希望得到的是数学语言的定义，也就是书本上给出的那个极限式。这就是对定义的准确掌握，从定义出发我们才能得到一些有用的东西。因此我们说，“深挖”知识点之前，一定要对其定义有一个准确的掌握。

其次，我们应该有一个习惯性思考的好习惯。当你掌握定义之后，你对于知识点的理解一定会更深一些，但是还不够。我们需要的是思考问题的能力。比如对于一道你不会的题目，可能在你看过答案之后会做了。结束了么？

没有。为什么你的方法不能做呢？这叫“总结错因”。知道了自己的方法为什么不行之后就结束了么？

没有。可能你曾经用同样的方法解决过一些问题，为什么这道题不行呢？于是你开始对比这道题和你曾经做过的那道题，以及他们所涉及到的一些定义和定理；随后你发现你的方法是有一定限制的。那么这种限制体现为什么呢？为什么会存在这样的限制呢？能不能把你自己的方法推广为一种更加普适的方法从而消除这种限制呢？——这就是“深挖”，或者叫做“深度思考”。

经过了这些思考与总结，你甚至得出了自己的“定理”，你心满意足，开始研究下一道题。

另外，我们还应该拥有“联想”的能力。这一点很好理解。如果别人谈论到一件事情，你可以立即联想到与之相关的知识点；或者做到了一道题目，联想到了另外一个有关的知识点，并且突然发现这个知识点还可以有新的理解。这就是“联想”。

总结来说，“深挖”就是要挖掘到知识点的本质，从而提供了将方法推广的可能，也就对你的学习带来了极大的帮助。

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下面是我最喜欢举的例子之一——平面直角坐标系。平面直角坐标系，由x轴、y轴、原点构成。其本质就是两个正交的单位向量（1，0）与（0，1）。现在这两个向量是单位的，而且是正交的；如果让它们不再正交，也就形成了“斜坐标系”；如果让它们不再是单位的，就形成了所谓的“伸缩变换”。这一点读者可以自行理解，关于坐标变换的内容可以关注我的公众号【薄夜清尘】，回复“坐标变换”即可。

所以说，“深挖”的意识与能力极为重要，也是很多人所缺乏的，我希望度过本文的朋友们可以时刻提醒自己，去挖掘，去探索；这不一定需要老师的带领，自己也可以发现数学更美妙的世界。

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