转化思想：初中数学的解题思路

转化思想

“解题就是把要解的题转化为已经解过的题”.

转化思想是指将一个陌生的或复杂的数学问题，通过对已知条件或待求结论进行适当变换,使其转化为我们熟悉的问题、熟悉的方法或熟悉的模型,从而使问题获得解决的一种数学思想方法.

转化的方向是化未知为已知,化难为易,化繁为简,

但问题是“如何转化”,

我们认为,“转化”的核心就是“联想”思考

.当你看到一个陌生问题,你能否联想到你之前已经解决的类似问题.

比如当你看到要证两条线段相等时,

首先你应该想到全等三角形,马上尝试去证明或构造全等三角形;

当你看到要求某两条线段的比值时,

你首先应该联想到相似三角形,马上尝试去证明或构造相似三角形;

当你看到要求某条线段的长度时,

首先应该联想到解直角三角形或相似三角形,

马上尝试去解直角三角形或相似三角形;

当你看到要求三条线段之间的数量关系时,

首先你应该猜到线性关系或平方关系,

马上尝试将这三条线段通过某种变换转化在同一条直线上

或同一个直角三角形内;

当你看到线段中点时,

马上应该想到倍长中线(或线段)或构造中位线,

马上尝试朝这两个方向思考等等.

世界数学大师波利亚强调:“不断地变换你的问题”,“

我们必须一再变化它,重新叙述它,变换它,

直到最后成功地找到某些有用的东西为止”.

他认为解题过程就是“转化”过程.

【典型例题1】

【思路分析】如果x取特殊值,再求y的值,整个过程也不简单而且很难用排除法做题,但如果观察到∠BAC和∠AOB 为直角,且AC=AB,通过构造“一线三垂”模型实现化繁为简,非常巧妙.

【答案解析】如答图,过点C作CD 垂直y 轴于点D,因为△ABC是等腰直角三角形,易知△ACD≌△BAO,所以AD=OB,因此y=x+1.故选 A.

【归纳总结】做几何综合题时,如果能够从复杂图形中识别出基本图形或添加适当辅助线构造出基本图形,问题就会变得比较简单,马上就会迎刃而解.

【典型例题2】

【思路分析】点 D 是边BC,EF 的中点,连接 AD,DG,如答图,易证△DAG∽△DCF,则有∠DAG=∠DCF,从而可得A,D,C,M 四点共圆,再取AC的中点O,根据两点之间线段最短(或三角形三边关系)可得BO≤BM+OM,即BM≥BO-OM,当点M 在线段OB 上时,线段BM 的长最短,只需利用勾股定理求出BO,OM 的值即可求解。

【答案解析】

【归纳总结】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判

定、勾股定理、两点之间线段最短(或三角形三边关系)等知识,求出动点M 的运动轨迹是解决

本题的关键.其实本题还可以利用四边形ADCM 内角和为360°求出∠AMC=∠ADC=90°,

再利用△BOM 中的三边关系可得当B,O,M 三点共线时,BM 取得最小值.