微积分先驱｜麦克劳林

“麦克劳林在《流数论》中，企图建立微积分理论的严密性。”

——克兰

“曾蒙牛顿的推荐。”

——麦克劳林的墓志铭

麦克劳林是英国数学家。1698年2月生于苏格兰的基尔莫登；1746年1月4日卒于爱丁堡。

图1 莱布尼兹

麦克劳林是一位牧师的儿子，半岁丧父，9岁丧母，由其叔父抚养成人，叔父也是一位牧师。麦克劳林是个“神童”。为了当牧师，他11岁考入了格拉斯哥大学学习神学，但入校不久却对数学发生了浓厚兴趣，一年后转攻数学。17岁取得了硕士学位并为自己关于重力作功的论文作了精彩的公开答辩；19岁担任阿伯丁大学的数学教授并主持该校马里歇尔学院数学系工作；两年后被选为英国皇家学会会员；1722-1726年在巴黎从事研究工作，并在1724年因写了物体碰撞的杰出论文而荣获法国科学院奖金；回国后任爱丁堡大学教授。

1719年麦克劳林在访问伦敦时见到了牛顿，从此便成为牛顿的门生。1724年，由于牛顿的大力推荐与资助，他获得了爱丁堡大学的职务。

麦克劳林21岁时发表了第一本重要著作《构造几何》，在这本书中描述了作圆锥曲线的一些新的巧妙方法，精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质。例如，证明了一条n次不可约曲线的二重点的最多个数是(n-1)(n-2)/2。还给出了各类更高重数多重点的个数的上界。他引进了代数曲线亏数的概念。还推广了帕斯卡的六线形。1742年撰写的《流数论》以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。此书之意图是为牛顿流数法提供一个几何框架，以答复贝克来（Berkeley）大主教等人对牛顿的微积分学原理的攻击。该书写得相当审慎周到，以致在1821年柯西的著作问世之前，一直是比较严密的微积分标准教材。著名的麦克劳林级数就是在本书中提出的。他用牛顿的逐次微分法引入泰勒级数而得出，然后应用这个级数导出局部极大值和极小值存在的充分条件。他还首先给出如何区别一般极大极小的理论，并指出这种区别在曲线的多重点理论中的重要性。在《流数论》中他把级数用作求积分的标准方法，他说：“当一个流量不能真正地用代数项表示时，则它应可表现成一个收敛级数。”他还认为，收敛级数的项必须持续下降并小于任意指定的小量。“在这时，级数开头几项就几乎等于它整个的值了。”在《流数论》中，他给出了（独立于柯西）无穷级数收敛性的判别方法：

收敛，当且仅当

有穷，其中在φ（x）在0＜a≤x＜∞有穷并且是同号的，他用几何形式给出了这个判别法。在此书中还证明了等速旋转均匀流体的平衡形状是旋转椭圆体，现在称之为麦克劳林椭圆体。美国数学史家克兰（Kline）说：“麦克劳林在《流数论》中，企图建立微积分理论的严密性。”这无疑是值得赞扬的，而且他在这方面作出了相当多的贡献。但是他和希腊人一样，常常用怀疑的眼光来看待无穷小概念，他相信大多数问题不依靠极限概念就能解决，因而试图根据希腊几何和穷竭法建立流数学说。不但他自己擅长于几何，而且也常劝别人多用几何，以致妨碍了更有力的分析的发展。

麦克劳林的《代数论》一书，开创了用行列式的方法解含有两个、三个和四个未知量的联立线性方程的先例。虽然书中的记叙法不太好，但是他的法则实质上就是我们今天所用的法则。只是后来克拉默(Cramer）又重新发现了这个法则，所以后来叫克拉默法则。

麦克劳林给《皇家学会会报》写过不少论文，其中有论曲线的构造和度量的，还有论述所谓有奇异根的方程的。1740年发表的论文《论潮汐》使他与丹尼尔·伯努利、欧拉共享法国科学院的一项奖金。他还改进了奥克尼和谢特兰岛的地图。并且为保险公司进行统计方面的计算。麦克劳林也是一位实验科学家，他设计了很多精巧的机械装置。

麦克劳林不但学术成就斐然，而且关心政治。1745年，当支持查理・斯图尔特（Charles Stuart）的苏格兰高地军队进攻爱丁堡时，他以非凡的勇气领导了这次保卫战．直到苏格兰高地的詹姆斯二世党人占领爱丁堡时，才被迫离开。但詹姆斯只得势一时，麦克劳林很快又返回了爱丁堡。然而经过这次保卫战，他的健康已经受到损害，不久就逝世了。

图2 牛顿

麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培，并为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。他曾打算写一本《关于伊萨克・牛顿爵士的发现说明》，但未能完成便去世了。死后在他的墓碑上刻有“曾蒙牛顿的推荐”以表达他对牛顿的感激之情。