例谈如何突破解析几何的超量运算
数学运算是数学核心素养之一,解析几何是考查数学运算能力的压轴题.众所周知,解析几何是利用代数的方法研究平面几何的问题,在高考和竞赛中,涉及圆锥曲线的问题,超量的运算让学生感到头疼.那么如何破解这个难点呢?本文试图以一道竞赛试题为题,运用四种运算技巧破解解析几何运算难题,希望能够引起共鸣,让解析几何的运算有章可循,有法可依.
一、例题解法算理呈现,探究运算过程
例题 (2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛)已知椭圆
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的离心率为
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并且过点P(2,-1).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线交椭圆C于点A(x1,y1),B(x2,y2),若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.
分析:这个类型试题高考和竞赛中考查频率比较高.第一问解题过程略,椭圆的方程为
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第二问容易转化直线PA,PB关于直线PQ对称即斜率kPA+kPB=0.
(一)借助降幂,整理方程
解析几何中一般需要一条直线和圆锥曲线联立消去x或y,得到关于x或y的一元二次方程,接着使用判别式、韦达定理解决问题,但在这个运算过程中容易产生错误.如果始终按照某元为主元降幂整理代数式或方程,把注意力集中到系数上来,整理代数式或方程可以迅速、准确求得.
例题解法角度1(部分)
设直线PA的方程为y+1=k(x-2)(斜率显然存在)且A(x1,y1),直线PB的方程为y+1=-k(x-2)且B(x2,y2).
由
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联立消去y,得x2+4(kx-2k-1)2-8=0⟹怎么算?
特别是(kx-2k-1)2打开有9项,接下来是大多数学生容易算错的一步.如何处理?究竟以什么计算方法,才能准确无误地得到一元二次方程呢?为了解决这类问题,我们通常只要按照x降幂整理方程,特别要关注二次项系数、一次项系数和常数项,这样直接填空式的整理方程,事半功倍.于是化为(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+4(2k+1)2-8=0.
对于得到关于x的一元二次方程,我们都需要考虑判别式Δ=b2-4ac(一元二次方程ax2+bx+c=0,a≠0)的符号,对于这个式子的整理计算量比较大,主要因为次数比较高,项数比较多容易丢失或算错一些项,我们这里如果也使用降幂方法,可以迅速化解困难.即Δ=(8k(2k+1))2-4(4k2+1)(4(2k+1)2-8)=64k2(2k+1)2-16(4k2+1)((2k+1)2-2)最高次项64k2(2k+1)2可以和后面乘开的项相消,因此只剩下的三项类似于两项乘以两项的展开式的一次项和常数项,于是Δ=-16((2k+1)2-8k2-2)=-16(-4k2+4k-2),再整理为Δ=16[(2k-1)2+1]>0.(这个运算方法在圆锥曲线中发挥重要作用)
评注:对于(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd(a≠0,c≠0)恰当运用,可以让我们的计算准确率大大提高,特别是当字母a,b,c,d表示多项式时.
(二)借助已算,同理推算
例题解法角度1(续部分)
上面整理的一元二次方程(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+4(2k+1)2-8=0,由韦达定理得
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即
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由于直线PA和直线PB斜率互为相反数,根据已算x1及结构形式,容易用-k替换k易得x2,从而同理推算
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于是
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所以直线AB的斜率:
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即直线AB的斜率为定值
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评注:(1)这种类型的计算如果两条直线垂直k1×k2=-1,或两条直线斜率线性相关k1=λk2+μ等形式,均可以借助已算,同理推算.(2)计算过程始终注意按照主元降幂整理式子.
(三)借助无意,分解因式
例题解法角度2
设直线AB的方程为:y=kx+t,由于直线AB不过定点P(2,-1),即2k+t+1≠0.
由
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联立消去y,得x2+4(kx+t)2-8=0,于是(1+4k2)x2+8ktx+4t2-8=0,从而要满足Δ=(8kt)2-4(4k2+1)(4t2-8)=64k2t2-16(4k2+1)(t2-2)=16(8k2-t2+2)>0,所以由韦达定理得
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由题意kPA+kPB=0,即
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整理得(x1-2)·(y2+1)+(x2-2)·(y1+1)=0,即(x1-2)·(kx2+t+1)+(x2-2)·(kx1+t+1)=0. ①
2kx1x2+(t+1-2k)(x1+x2)-4t-2=0.(按照x1,x2降幂运算法则整理方程)
2kx1x2+(t+1-2k)(x1+x2)-4t-2=0,把两根关系代入得
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去分母化为k(2t2-4)+(t+1-2k)(-2kt)-(t+1)(4k2+1)=0. ②
对于②式次数最高三次的,如果直接乘开进行运算,项数太多,整理起来难度较大,因此需要采用合理运算法则,才能正确、迅速、简捷地整理好方程.整理方程代数式最重要的法则之一就是按照某元降幂排列,效果显著.
第一种整理思路,按照t的降幂整理方程如下:
(2k-2k)t2+(-2k+4k2-4k2-1)t-4k2-4k-1=0,即(2k+1)t+(2k+1)2=0,降次分解因式为(2k+1)(2k+t+1)=0,而2k+t+1≠0,所以
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第二种整理思路,按照k的降幂整理方程如下:
(4t-4t-4)k2+(2t2-4-2t2-2t)k+(t+1)=0,于是(2k+1)t+(2k+1)2=0,即(2k+1)(2k+t+1)=0,所以
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即直线AB斜率为定值
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评注:(1)①②式均按照相应的字母降幂整理二次三项式型方程;(2)注意到直线AB不过点(2,-1),因此点对直线无意义,即关于②式分解因式降幂中起到关键作用.
以上几种算法的解题思路是在充分理解了计算目标,计算步骤和步步有依据的同时抓住问题条件中不同数学形式表达、明算理,优方法指导下的一次解题运算探究.我们很多学生甚至教师简单的认为,解析几何是运用代数的方法解决几何的问题,就是联立方程组解方程、消参、得判别式、韦达定理、求弦长、算点到直线距离等一通计算.实则这是缺乏对数学运算和解析几何特点的认知误区.我们教师在教学中要明算理,设置好典型试题教学,通过实例与学生亲历运算过程,在过程中认知解析几何的平面几何特征以及代数解决问题运算特点、法则,并与学生一起探讨运算困难、障碍、陷阱,从而在充分分析几何特征的基础上,代数运算的难度才有可能降低.
二、深度理解运算能力特点,培养运算能力
运算能力不可能独立存在和发展,而是与思维能力、观察力、记忆力、理解力、想象力等能力互相渗透、互相依存.特别是运算过程涉及大量的、复杂的逻辑推理,这是与思维能力紧密相关,其中既体现了依据数学原理、公式、法则对算式进行变换操作的过程中表现的正确、灵活和熟练的程度,又体现深刻理解算理基础上,能根据问题条件寻求合理、简捷的运算途径的水平.在日常教学中教师要循序渐进地促进学生运算能力的发展,如本文中降幂整理数式,运用两项乘以两项展开式特点,化无意为有用,整体代换等思想,均是最基础的计算规律.教师还可以经常使用全字母式的联立方程组、整理判别式、韦达定理,并运用前面式子表示出点的坐标、弦长、三角形面积或弦长线段、面积之比等,从而在具体运算时掌握式子的特点、注意事项,进而在考试中提高运算速度、准确度,促进学生形成对解析几何运算信心的良性循环.