中考数学填空压轴型：动点与最小值问题

这道题稍微有点麻烦吧，毕竟也不是分情况讨论那种。

解析：

平行四边形ABCD的边已知，∠B=60°已知，还有DE=4DF，E是个动点，根据EF和EC又做了个平行四边形ECGF，让找出EG的最小值；

有同学可能会说：老师，这又是动点，又是平行四边形，E和G没有一个是固定点，太难了；

当你感觉这道题有难度的时候，其实是你没有发现EG什么时候最短，假如你知道了EG最短的情况是什么样子，即使你不会证明，但起码你能计算出来长度吧？

回想一下线段最小值问题，以前我们见过的当一个线段最短的时候是什么情况？注意，不是线段和，是单一的一条线段，除了圆和圆外一点之间的距离，那么不就是垂线段最短吗？

这里如果想要出现垂线段，则EG和CD需要垂直；

我们已经猜想出来了结果对应的情况，即使你无法证明出来为什么这个时候EG最短，但是你也已经知道了；

那么要证明EG和CD垂直的时候是最短的，我们需要将EG转化为E到CD的距离问题，怎么才能转化呢？当然是找到之间的倍数关系，我们假设EG和CD的交点为M，

则最终EG必为EM的多少倍，因为EM有最小值，而EG想要有最小值，则必定与EM呈倍数关系；如此一来，当EM最小的时候，EG=nEM则也最小；

那么接下来就寻找EG和EM之间的关系吧；

题干中唯一一个线段之间的关系就是DE=4DF，既然就这一个倍数关系，则肯定需要转换到EG上面去，根据线段比例最简单的转换方法，就是平行构造比例线段了，所以我们过F做CD的平行线

如图，则可得EM=4MN，

这个时候再观察CD和FN这两条平行线，学平行四边形的时候不是经常做这种证明题吗，所以可以得到EM=NG=4MN；

那么就可以得到EG=9EM/4

则当EM最短的时候，EG最短，

所以当EM垂直CD时，EM为平行线AB和CD之间的距离，达到最小值，

因此只需要解决AB和CD之间的距离即可得知EM的最小值，

刚好BC已知，∠B=60°，那么只需要过C做AB的垂线即可知垂线长度4√3，

即EM的最小值为4√3，那么EG的最小值则为9√3；