2020哈佛-麻省数学竞赛冬季赛 团体赛 中文翻译

比赛时间：2020年11月14-21日

团体赛

1.（本题20分）有多少个小于1000的正整数n, 使得方程有正实数解?

2.（本题25分）将正整数{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}排在一个圆圈上,使得任意两个相邻的数互素,一共有多少种排法?注:旋转和反射所得到的排法视为同一种排法.

3.（本题30分)设一个半径为1的四分之一圆内可以放入的最大半圆的面积为A,求.

4.(本题35分)有两个立方体骰子, 每个面上分别写有数字{1,2,3,4,5,6}.这两个骰子是不均匀的, 即投掷他们的时候, 每个面朝上的概率不全相同. 现在将两个骰子一起投掷, 已知两个向上的面点数之和为2的概率为0.04, 两个向上的面点数之和为12的概率为0.01. 若两个向上的面点数之和为7的概率的最大值为p, 求.

5.(本题40分)对任意正整数n, 设表示使得不超过n的正整数中, 有且仅有一个正整数与全部互素的最小非负整数. 若, 求可能的最大值.

6.(本题40分)正六边形的边长为1. 对, 设表示以为中心的单位圆, 表示的一条内公切线, 其中. 若直线组成一个正六边形, 设这个正六边形的面积可以表示为,其中为互素的正整数. 求的值.

7.(本题目45分)一只蚂蚁在坐标平面上从点(0,0)出发按如下规则移动: 每一秒钟, 他都随机移动到一个与当前位置距离为1的整点处, 且到各位置的概率相等. 当蚂蚁每次完成移动后,他会进行判断, 如果发现有更快的移动路线, 就停止移动. 例如, 蚂蚁沿以下路线: (0; 0) →(1; 0) → (1; 1) → (1; 2) →(0; 2)移动到(0; 2)时, 他就会停止移动, 因为(0; 0) → (0; 1) → (0; 2)显然是更快的路线. 那么, 设蚂蚁移动路程的期望为,其中为互素的正整数. 求的值.

8.(本题目50分)△ABC中, 高BE, CF交于垂心H. 已知△EHF的垂心在直线BC上, ,其中为互素的正整数. 求的值.

9.(本题目55分)袋中有10个黑球和10个白球, A,B两人轮流从袋中取球.  A只取黑球,(如果有的话) B则完全随机地从袋中取球. 当所有球被取出后, 设B从中取出的黑球个数的期望为,其中为互素的正整数. 求的值.

10.(本题目60分)已知为非负实数, 且. 求整数对的个数, 其中,且使得的最大值为.