猴子分桃的神奇解法，从初等数学到不动点｜袁岚峰

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导读

五只猴子分桃子，你知道这个巧妙的解法吗？

1979年，李政道回国讲学，访问了中国科学技术大学（李政道1979年回国讲学活动及其影响 | 返朴）。科大少年班的设立，就源自李政道1974年向毛泽东、周恩来的建议。

面对少年班的同学，李政道即兴出了一道题：“有五只猴子，分一堆桃子，可是怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，把一个桃子扔到山下后正好可以分成五份，它把自己的一份收藏起来就睡觉去了。第二只猴子起来也扔了一个刚好分成五份，也把自己那一份收藏起来。第三、第四、第五只猴子都是这样，扔了一个也刚好可以分成五份。问一共有多少桃子？这个问题有一个很巧妙的解法。”

我来告诉大家这个巧妙的解法：-4 + 5⁵ = -4 + 3125 = 3121。你看明白了吗？

如果不明白，请思考一会儿。

思考好了吗？我来解释一下。

这是一个不定方程问题，可以有无穷多的解。假如n是一个解，那么显然n + 5^5也是一个解。问题在于，如何找出一个n的特解呢？

一个神奇的特解是：n = -4。

想想这是什么意思：最初有-4个桃子，一只猴子扔了一个桃子，变成了-5个桃子。然后它拿走了-5的1/5，也就是-1个桃子，于是剩下的桃子又变成了-4个。后面的猴子重复前面的操作，每次都是扔掉-1个，自己拿走-1个，所以刚好抵消，这个操作可以无限地进行下去。用数学术语说，-4是这个体系的一个不动点。

由此可见，-4确实是一个特解。那么最小的正整数解就是-4 + 3125 = 3121。这个解法据说来自伟大的数学家怀特海（Alfred North Whitehead，1861 - 1947）。你明白了吗？