高中数学与大学数学
最近在写的系列主要是面向高中生和大学数学系的本科生们, 希望搭建一座桥梁, 为高中的初等数学与大学的近现代数学建立联系, 或许可以给喜欢数学的学生一点（未必合适的）引导, 让他们了解一些近现代数学尤其是代数学研究发展的历程, 激发（也许是浇灭）他们学习数学的热情. 之所以选择这些问题, 是因为它们是代数学发展的基石, 其发展历程富有启发性, 能给予学生们很好的训练, 让他们通过自己的思考去重复前人的发现, 体会“再发现”的乐趣, 从而领悟数学思想. 这个过程或许有助于他们今后的科研探索. 然而, 十多年的大学教书经历告诉我, 上述想法的实现其实很难, 因为我们的教育尤其是中学教育是畸形的, 存在着太多的不足, 搞不清先天的和后天的哪个比重更大. 需要说明的是, 以下的思考是基于本人在大学的教书经验和教训作出的, 结合了少许的与中学老师的交流.
存在的问题
每次教大一的课程, 我都会在期中考试后让学生们写一个总结, 希望他们能够反思一下进入大学后的几个月的学习情况. 在日常教学过程中, 常常发现他们身上有太多应试教育的难以磨灭的痕迹, 这导致学生们明显不适应大学课堂. 或许通过自我反思他们能转变思维方式, 找到合适于自己的学习方法. 从学生的反馈看, 很多人上大学前对大学生活完全是陌生的, 上了几个月课, 觉得被大学骗了, 尤其是“被高中老师骗了”. 大学的宣传可能正能量偏多了一点, 而可能不止一位高中老师跟学生们说过: 你们苦过这三年, 上了大学就轻松了! 然而真正的大学生活似乎完全不是一回事, 当然不排除在某些大学或者某些专业是可能非常轻松的. 在这样的氛围里, 学生们表现出了各种能力的欠缺.
第一种是自理和自控能力不足. 学生们高考结束后甚至是在获得保送资格之后就解脱了, 他们用包括撕书在内的各种举动来宣泄心中压抑已久的情绪, 如同一根弹簧被拉伸到弹性限度之外, 再也没有了弹性. 进入大学后, 很多学生对所学专业缺乏兴趣, 失去奋斗的目标, 关键是没有了来自老师家长的压力, 无法恢复到高中时的学习状态, 有经常打游戏度日的, 也不乏网吧的常驻人口. 在这个过程中, 来自家长、老师、辅导员或者同学的帮助都起不了作用, 一些学生只能选择休学甚至退学. 如果以上还算是个别情况的话, 普遍情况是在超过半数的大学课堂有超过半数的学生在低头看手机,
第二种是主动意识不够, 这表现在很多方面.
首先是不会自主学习. 比如有不少学生就说自己除了吃饭睡觉就是学习, 但是效率很低, 事倍而功不到一半, 因为他们还是在用高中划重点的方式学习数学, 习惯性地把定义、命题和定理作为重点画出来, 死记硬背, 而自觉或不自觉地过滤掉数学概念的背景, 无视命题、定理等之间存在的内在联系. 这就像抗日战争中鬼子采用囚笼政策, 当公路、铁路被破坏后, 只剩下孤零零的炮楼.
其次是没有动手的意识. 在课堂上, 习惯于被动地接受教师课堂讲授的知识. 对于课上提出的问题, 不善于抓住有限的时间去思考, 只看不动, 等着老师讲解; 或者满足于自己有的一点想法, 光说不练, 真正要写下来却破绽百出.
再次是没有主动交流的意识. 有些学生也能意识到自己学习方法的问题, 但是由于各种原因, 不会主动求助于老师或者同学. 上课时, 明明没有听懂, 也羞于启齿问问题. 他们不知道, 如果问出来, 哪怕是很初等的问题, 也可以迅速地解答自己的疑惑, 从而提高课堂效率.
最重要的还是主动探索能力匮乏. 在过去的十几年里, 教过几届大一学生, 也面试过不少学生, 中学生和大学生都有, 大部分学生通常会在两类问题上不知所措. 一类问题是常规的, 比如求一些数列的通项公式, 有的学生会套用方法, 如果追问一下为什么这个方法是可行的? 大多数的回答是书上是这么写的或者老师是这么教的. 大部分学生没有意识去主动问为什么, 也没有主动探索一下方法背后的原因. 另一类问题是开放式的, 比如先解释一个没有接触过的概念, 让学生们举一些例子或者做一些简单的推理, 很多学生会束手无策, 不知从何下手; 给一些提示, 试图引导他们去做一些初步的探索, 也会发现阻力很大. 惰性在不知不觉中已经形成了.
教学差异
有句话是“分, 分, 分, 学生的命根”, 很准确地刻画了中学生的处境. 现在的大学里, 学生们对分数的关注度也到了一个前所未有的高度. 在这一点上竟然有这样惊人的一致, 着实令人诧异! 然而在实质性的教育层面上, 国内的中学教育与大学教育存在很大的不同, 两者如同四轮马车与高铁一样难以衔接. 受专业所限, 我只就我所了解的数学教育进行探讨, 其他学科不便置喙. 每年都有几百万学生进入大学, 需要学习令不少人头疼的高等数学, 其中有数万名学生进入数学院系, 要系统学习数学分析、高等代数、解析几何、抽象代数、常微分方程等数十门专业性很强的数学课程. 大学数学与高中数学有显著的不同, 这可能出乎很多大学新生的意料之外, 以至于一些高中（或者高考）时表现很优秀的学生也非常不适应.
从教学内容上看, 中学教材采用模块化, 知识点比较散, 几乎涵盖了数学的所有分支. 广度有了, 自然不能深入, 每个知识点都是浅尝则止, 所以看起来比较直观易懂, 能力强一些的学生看看书可能就会了. 但深度不够导致一个很大的弊端, “高中的数学知识是欠逻辑的”（学生的话）, 也就是知识点之间缺乏联系, 本该有的一些联系被距离遥远的模块彻底淡化. 而大学数学就系统得多, 中学课本里的大部分章节都是大学数学的一门课或者一个研究方向, 甚至一个专业. 每门课都集中于一个数学分支, 严密抽象, 理论性强, 需要学生有较强的逻辑推理能力. 课程内容都有足够的深度, 既自成体系, 有上下关联. 有人说, 大学里一周里学到的数学内容比高中三年学到的都多, 可能有点夸张, 换成一个学期就应该没有争议了.
从教师的讲课方式上看, 两者大相径庭. 中学数学内容比较少, 老师们通常采用的是“一停, 二看, 三通过”的原则（不一定准确）: 讲完一个知识点, 中学老师都会停下来, 给学生足够的时间消化吸收, 还要辅之以一定的例题和练习. 然后看看学生们掌握的情况, 根据需要不断地重复教学, 用大量的题目让学生们课后反复练习, 还有各种周考月考. 重复了一定次数以后, 大部分学生掌握了, 于是继续下一个知识点. 中学老师几乎了解班上所有学生的特点, 有一定的时间保证可以适当做一些面对面的辅导. 而大学课程如果不是水课的话, 一般都是节奏快, 知识容量大. 大学老师会不断向学生灌输新的知识, 一般不会停下来复习, 充其量是在用到某个学过的知识点时提一下, 但也只能蜻蜓点水, 点到为止.大学的师和学生的关系要比中学的远了许多. 一个学期下来, 任课教师叫不出几个学生的名字这是很正常的; 如果任课教师能叫出班上所有学生的名字（当然学生不少于 20 人）, 那反而是一件很奇怪的事情. 大概是作为回应吧, 也有学生上了一个学期的课不知道任课教师的名字, 甚至不知道老师长啥样. 我 2002 年在北大做博士后时讲习题课. 期末考试前有个学生去办公室找我答疑, 见了我的第一句话是: “请问朱老师在吗?”
从学生的学习方式看, 差异很大. 很多学生都有同样的体会: 中学数学是刷题刷出来的, 或者准确地说, 中学数学给他们留下的最深（希望不是全部）的印象是刷题. 学生们总有做不完的练习题, 其中很大一部分是机械性的重复. 在大量的重复训练中, 学生们形成了条件反射, 会套用一些方法快速做题, 从而能有效应对考试. 然而这种训练方式的后果是明显的: 学生们穷于应付作业, 根本没有时间思考, 或者更严重的, 他们根本没有产生要思考的念头! 长此以往, 他们的思维能力在退化, 接受新知识的能力也在退化, 因为没有足够的重复次数, 他们学不明白新知识. 这些都给学生的大学生活带来了隐患, 因为大学数学一般是刷题刷不出来的, 很多课程没有那么多习题供学生练习, 很多高年级的选修课的教材根本没有课后练习! 有人说数学研究不是玩技巧的, 而是玩概念的, 很有道理. 大学的很多课程都是数学家们对一些问题感兴趣, 提炼出其中共性得到一个新的概念, 围绕这个概念进行探索, 逐步建立起一个新的数学理论, 原始问题在新的理论下一步步获得解决. 这样的课程对初学者是有一定挑战性的, 光看书已经不容易懂了, 因为他们从书上看不出或者根本不关心问题的起源和探索路径, 自然也不明白为什么要讲那些看起来不那么友好的数学命题. 对大部分学生来说, 课前适当预习, 了解一下课程的框架, 带着问题听课效果会好一点, 否则课后复习难度较大. 有的学生就反映, 复习过程有时要花费比老师讲课更长的时间.
中美教育
不得不提一下中美教育的对比. 在这一方面, 仁者见仁, 智者见智. 从学生平均的数学能力看, 东风压倒西风, 比如公认的中国学生数学基本功扎实, 而美国学生常常出现算 2 × 2 也要动用计算器的奇葩事. 从顶尖学生的表现看, 西风压倒东风.
最近几年的每年 8 月初都有一件在国内引起广泛关注的事情, 那就是国际数学奥林匹克的结果. 原因很简单, 中国队最近四年都没有获得团体第一, 而之前被碾压的美国队有三次独占鳌头. 听听美国奥数队领队、卡耐基梅隆大学数学系教授罗博深（Po-Shen Loh）怎么说的吧:“我觉得最重要的不是比赛的输赢”, “对我而言, 有这个机会带领这些学生尽情享受数学, 让更多人喜欢数学才是最重要的. 我最希望的不是现在催他们做这些奥数题目, 而是让他们真的学到一些更有用的东西, 这样可以让他们以后有一个非常好的、非常成功的未来.” 因为他认为, 18 岁不应该是终点而是出发点. 在培训的过程中, 罗博深和他邀请来的各行各业的其他教练“不仅仅只是教授这些学生奥数的方法, 而且教他们真正的数学, 这些数学不只是 IMO 需要用到的”. 教练们也会和学生们交流, 奥林匹克数学竞赛这条道路可能会通向哪里. 大概正是这种以兴趣为导向、以未来为目标的理念和围绕这种理念的有效行动才是美国在近几年崛起的真正原因, 并且在美国领先于世界的数学研究队伍的支持下, 这样的势头是可持续的. 这样, 一大批对数学有浓厚兴趣的学生们会不断涌现出来, 成为数学研究领域的生力军.
美国大学的数学研究者们对于学生包括中学生的培养的确非常有热情, 比如一些名校的博士生在暑假期间常常有打工的机会, 主要任务是指导一些高中生尝试做科研. 2011 年, MIT 的 Pavel Etingof 教授与另外六位作者合作出版了一本书, 题目是 Introduction to Representation Theory.
这本书的内容包括代数、有限群、quiver（箭图）表示论, 以及范畴论和有限维代数结构理论, 其中的大部分内容在国内高校数学院系的本科甚至研究生课程中都讲不到. 在 Etingof 的主页可以找到这本书的 PDF 文档. 他在前言中说, 这本书是他在 2004 年给其他六位合作者的授课讲稿, 而这六位听众当时都是高中生! 其中的 Tiankai Liu 应该是华人, 在 2001, 2002, 2004 年三次代表美国队参加国际数学奥林匹克都获得金牌. 还有一位合作者是来自 South Eugene 高中的 Dmitry Vaintrob, 他在 2006 年获得面向高中生的 Siemens 竞赛的第一名, 论文题目是 The string topology BV algebra, Hochschild cohomology and the Goldman bracket on surfaces, 论文已经涉及到很深的数学理论, 在 Dmitry Vaintrob 的主页上也能找到.
再看看我们在做什么? 曾经看过一道竞赛训练题, 其本质是把八位数19101112（华罗庚先生的诞生日）分解质因数. 很容易找到因数 8, 然后就一筹莫展了. 后来借助网络工具才直到 19101112 = 8×1163×2053. 看到结果有点傻眼了: 有谁能只用纸笔得到这个分解? 后来发现自己孤陋寡闻了, 有学生说这种分解质因数早就背过! 细细一想真的极为恐怖: 他们为什么要背这个? 他们又背了多少类似的东西?
类似的事情大数学家Euler 做过, 只是要有意义得多, 不可同日而语. Fermat 曾猜想形如的数都是素数. 差不多一百年后的 1729 年, Euler 知道了这个猜想; 三年后, 他终于发现, 从而否定了Fermat 的猜想. 可以想见, 当年 Euler 仅用纸和笔当然还有他那无与伦比的大脑进行演算时经历了怎样的难度. 当然, Euler 不是完全用蛮力的, 他摸索出来一个高效的方法, 在《How Euler Did Even More》[6]一书中有一节专门探讨了 Euler 怎么得到上述因式分解的.
无独有偶, 与 Euler 齐名的德国数学家 Gauss 在前人的基础上猜想: 小于正实数 的素数个数与 差不多. Gauss 是在统计了 3 000 000 以内的素数之后得出的结论. 他的猜想后来被证明了, 进一步的研究（估计的误差）涉及到更深刻的数学问题.
2007 年, 下面的彩图曾经风靡整个世界, 占据了不少国际主要媒体的重要版面, 甚至出现在一些时装上. 这是 John Stembridge 用计算机画的图, 其中有240个点及一些点之间的连线. 它是一个具有高度对称的数学研究对象（例外李代数的根系）在平面上的投影, 具有令人震撼的对称美. 然而更让人吃惊的是那张展现同一个数学对象的黑白图片, 它是 Peter McMullen 在 20 世纪 60 年代用铅笔在纸上画出来的!
衔接的困难
横亘在高中和大学之间的是高考这座千仞大山. 南京师大附中的王栋生老师说,“高考不是一个好制度, 但是它是目前社会条件下唯一比较公平的制度”. 在相当长的一段时间内, 高考不太可能做太大的改动, 中学教育也不太可能做实质性的改革——当然免不了一些自上而下的折腾. 所以, 中学教育的问题在短时间内是无解的. 北大的钱理群教授退休之后投身中学教育十余年, 在包括他的母校南京师大附中在内的不少中学实践他的语文教育理念, 结果是“屡挫屡战, 屡战屡挫”, “节节败退”, 直到几年前宣布退出. 学生们说, 不是不想听他的课, 可是他讲的内容与高考无关, 有幸的话高考之后再找机会听. 钱理群教授感叹: 在现行的中国中学教育体制下, 应试教育之外的任何教育都很难进入校园.
不过, 钱理群唤醒的为数不多的中小学教师还在“绝望中抗争”, 他们希望探索一条素质教育之路, 当然前提是对高考有帮助. 然而这种探索的难度是很大的.
首先, 大部分中学教师具有足够的能力和正确的理念来实施素质教育吗? 因为女儿在上学, 近十余年还是比较关注中小学教育的, 也自以为是地发现了中小学教育的若干问题, 比如重复做同一份试卷, 抄写各知识点很多遍, 背教参上的标准答案, 有趣的历史、地理也僵化成一个个冷漠的知识点, 甚至有不少老师为了应付作文考试让学生提前把各种题材都写一篇, 反复修改后“背”下来, 考试时默写到试卷上! 更要命的是这种现象是普遍的!
其次, 设身处地地想一想, 中学老师有余力实行所谓的素质教育吗? 近有期中、期末各种统考, 还有月考甚至周考, 远有至关重要的高考, 这些考试在很大程度上“考的就是熟练程度和对陷阱的敏感度”（学生的话）, 大量重复训练成了一种必然. 而学生的成绩应该是衡量老师的教学效果的唯一标准吧, 谁愿意吃力不讨好地花更大的精力实施短期难以见效的所谓素质教育? 班上的学生人数多且又参差不齐, 不太可能有某一套素质教育方案适用所有的孩子, 也没有时间对每个孩子进行所谓的因材施教.
第三, 素质教育有足够的市场吗? 对于大多数孩子来说, 如果在高考中失利, 即使带着不错的素质进入不太理想的大学, 其结果是不难想象的, 其中应该会有一部分人能脱颖而出, 但比例不会太高. 孩子是一个家庭的未来, 对很多家庭来说似乎是唯一的希望, 所以一些探索素质教育的学校和老师遇到的最大阻力是来自于家长, 甚至是学生. 钱理群曾经感慨, 我们在培养一些“精致的利己主义者”. 当然板子不能只打在学生身上.
尽管如此, 探索之路应该也必须要走下去, 或许可以走得灵活一点. 素质教育不应该与高考冲突. 就数学教育而言, 如果我们不是把宝贵的时间花费在大量重复训练上, 而是有意识地引导学生们去探索书本上的知识, 让学生们在碰壁的过程中领悟数学的奥秘, 在上下求索的过程中发现数学好玩, 不知不觉中具有了探索未知领域的勇气, 提高了逻辑思维和解决问题的能力, 这对于应付高考即使不是如探囊取物一般也会起到催化剂的作用吧. 在这一方面值得借鉴的是 Moore 方法. 1911 年拓扑学家 R. L. Moore 在宾夕法尼亚大学的研究生拓扑课程中，先把课程内容切割成几十个定义和命题, 要求学生在不参考文献的前提下独立完成证明, 并在课堂上讲解自己的思路, Moore 和同学一起听课并参与讨论、点评. 1920 年以后，该方法渐渐在国外流行起来, 有相当一部分大学数学系开设类似课程, 例如著名数学家 Halmos 就曾用 Moore 方法给一年级本科生开设线性代数课程. 当然, 这个方法推广到中学是否能收到预期效果很难说, 因为这对于师生的要求都很高. 一方面, 教师需要站在一定的高度融合课程内容, 并把课程内容分割成难度适中的问题, 既要有一定的难度给学生们适度的挑战, 又要保持整体的连贯性, 让学生们在探索过程中逐渐领悟问题的前因后果; 另一方面, 需要学生有一定的自学能力和探索精神, 在一定的引导下坚持自主探索解决问题的方法. 学生的整体水平是参差不齐的, 教师要随时准确了解学生的状况, 根据学生的能力做适当调整, 以免“画虎不成反类犬”. 从我在大学课堂中的实践来看, 难度不小.
按照德国著名数学家和教育家 Klein（克莱因, 1849--1925）的观点, 中学数学教师要做好引导必须要“站得更高的视角来审视、理解初等问题, 只有观点高了, 事物才能显得明了而简单”. 目前, 大部分中学数学教师未必具有这样的素质, 因为他们不一定是数学系毕业的; 即使是数学系毕业的, 当年所学到的大学数学也忘得差不多了, 记住的部分也很难与中学教育相结合. 目前的教育环境让中学老师也疲于奔命, 没有精力去了解各种数学理论及其发展史, 更谈不上在教学中适当引导学生. 在这一方面大学应该承担应有的责任, 与中学建立紧密地合作关系, 在探索过程中提供必要的火力支援. 郑州外国语学校曾经做过有益的尝试. 他们与几所大学合作, 请大学老师为他们的数理化三科的教师讲授与中学课程有紧密联系的大学内容, 以期让教师们站得更高, 从而更有针对性地进行教学工作. 不管效果如何, 这是走出了有前瞻性的第一步, 如果能持续下去, 效果会显现出来的.
大学课堂更应该成为素质教育的主要场所, 因为相对中学而言, 大学具有先天的优势. 大学不再面临高考指挥棒了, 可以自主安排教学计划, 尝试不同的培养模式. 大学生也不用再围绕几个主要科目了, 而是有专业性的选择, 尽管这种选择未必是根据个人兴趣做出的. 大学教师也有条件按照好的教育理念来实施教育, 虽然目前的评价机制让教学沦为鸡肋. 大学更需要在教育理念上做变革, 做一些有意义的实质性探索, 而不是仅仅在各种场合空谈教育理念. 我们要走的路还很长, 因为大学数学教育有自身的严重问题. 比如, van der Waerden（范德瓦尔登, 1903-1996）的名著 Algebra 中大概是为了叙述方便, 把一个明显的小结论写成了命题的形式. 一位老先生在写书的时候美其名曰“挖补定理”, 结果国人如获至宝, 又是注记, 又是探索, 又是推广, 为之发表了数十篇文章, 顺便也写入教材, 纳入习题, 忙得不亦乐乎. 发表文章是为了生存, 这倒也罢了, 要命的是学生们都好骗, 工工整整把“定理”及其证明都抄写下来以备不时之需. 这招的确有点用, 一些半开卷的数学考试是允许学生们带一张写满字的 A4 纸到考场的, 于是学生们也多了一项技能, 能在一张纸上尽可能地写下更多的字. 这不由让人有了一点憧憬: 过一段时间后学生们应该有能力在一张纸上抄下整本书, 这可是与微雕有异曲同工之妙啊. 更有趣的是, 也许是有的考试要求学生们只能带写了一面的 A4 纸（可能只是段子, 没有考证过）, 学生们就活学活用地“发明”了只有一面的 Mobius 纸. 也有一些考试的题目有七八十分的往年考题, 于是, 考前辅导班就应运而生了, 都是高年级同学义务做的, 并且还赠送精心收集的往年考题收藏版. 当然也可能会搞砸了, 因为任课教师偶尔也会一时心血来潮换题了......
探索之路
就像罗博深教授所说的, 带领“学生尽情享受数学, 让更多人喜欢数学才是最重要的”. 然而做起来并不容易. 有句老话说得好: 兴趣是最好的老师. 然而在教学过程中, 我们会发现情况很不乐观: 真正对数学感兴趣的学生屈指可数. 也许是孤陋寡闻了, 兄弟院校可能会好很多. 学生们是从什么时候开始丧失了对数学的兴趣? 我们应该如何呵护学生们的脆弱的好奇心, 让他们“不惮以前驱”, 敢于探索数学, 发现和欣赏数学之美; 擅于应用数学, 解决生活中遇到的问题?
挪威数学家 Abel 曾经说过, 应该读大师的著作, 这样才能更好地向大师们学习. 当然, 对于大部分人而言, 读大师的原著既不现实, 也没必要. 由于近几百年尤其是近一百年的发展, 数学已经今非昔比. 现代数学有更精准的语言, 更合理的记号, 更深刻的理论, 从而可以更简洁明快地阐述以前的数学.
高中有一门选修课是数学史, 问学生的时候, 不少人都不知道. 有的说好像有一本教材, 只是课从来没开过. 历史首先是精彩的, 如果只是时间、地点、人物、事情的流水账, 比如赤壁之战写成: “东汉末年, 在长江赤壁一带, 孙刘联军以火攻大破曹军”, 那就成了简单的“归纳中心思想”, 毫无趣味了. 看看《资治通鉴》或《三国演义》 的描写, 情节曲折, 跌宕起伏, 令人手不释卷. 更重要的是, 作为历史上为数不多的以弱胜强的战役, 苦肉计、连环计, 妙计叠出, 给后人留下了太多可借鉴的地方, 又有多少文人墨客争相传诵, 成就了多少千古名篇.
翻过几本数学史方面的书籍包括高中教材, 大多数乏善可陈, 其主要问题就是记流水账, 既缺乏精彩的语言文字, 又没有必要的数学理论的推理. 要知道, 与人类发展史一样, 数学发展史同样也是波澜壮阔的, 尤其是数学家们经过多年的苦心探索, 在某一个历史时刻灵光乍现, 新的思想火花的迸发实现了历史性的突破, 其精彩程度不亚于一场惊心动魄的战役, 有时还是结合了多国数学家智慧的世界大战! 而其中的数学思想是弥足珍贵的财富, 是数学史教材中应该花大力气展现的地方, 因为这才能让后人了解到奇妙的数学理论的发展历程, 领悟到其中闪光的思想, 从而得到借鉴和启发.
其实每一本数学教材就是一部数学思想史, 是前人多年智慧的结晶. 只是大多数教材都是把数学理论单独拿出来, 其中充斥着从天而降的定义、晦涩难懂的命题, 看似精彩但却莫名奇妙的证明, 这难免令人望而生畏; 再加上多如牛毛的练习, 学生们的好奇心和求知欲逐渐被消磨殆尽了. 等到他们进入大学学习更为系统的理论的时候无所适从, 搞得大学数学教育也很狼狈. 所以教学中的一个关键之处是把略显枯燥的数学理论与流水账式的数学史更好地结合起来, 引导学生们追随前人的足迹, 走数学家走过的路, 切身经历数学发展的历程, 体验数学研究的苦与乐, 感知数学家们在历史突破的那一瞬间的情怀. 这样, 学生们通过自己的努力重复前人的发现, 体会“再发现”的乐趣, 就能更好地欣赏数学之美, 领悟数学思想, 体会到数学好玩, 而不仅仅满足于记住结论, 会做难题或考个高分. 大部分数学理论都是从实际问题中来, 最后又回到解决实际问题中去, 所以学生们如能应用所学的数学知识, 解决身边的问题, 他们的好奇心会被激发, 求知欲会增强, 探索能力得以培养. 当然, “冰冻三尺, 非一日之寒”, 要改变现状实现目标谈何容易! 不过, 也不可小视微薄的个人之力, “愚公移山”、“蚍蜉撼树”未必是贬义词.
钱理群教授在中学进行的语文教育的尝试失败了, 如果进行数学方面的尝试结果会如何呢? 这是我很想知道的事情. 在数学教育过程中, 问题引导的方式应该起到关键的作用. 当然, 问题的选择很关键, 也是最为困难的. 哪些有趣的数学问题可以介绍给学生, 供其中力所能及的并且有兴趣的学生探索? 初步的选择自然是课本知识的整理和升华, 这即使是对于考试来说也是不无裨益的. 除此以外, 最好是在数学发展史中起到关键的推动作用的问题, 沿着历史足迹走, 按照人类的认知规律进行教学. 我根据自己的研究兴趣列举一些有趣的问题, 不过没有经过实践检验, 未必适合大部分中学生.
首先是代数学. 我正在写代数学发展史方面的系列: 尺规作图、高次方程求根、线性方程组、线性空间, 后面还有群、环、域、表示论等. 这个历史过程可以参看文献[2]. 其中的很多问题都是从中学代数学内容中稍微提升一下即可.
其次是在微积分. 中小学阶段至少有两个遗留问题: 圆和矩形的面积公式. 估计有不少人会觉得矩形的面积公式没问题, 实际上这需要一个中学证明不了的平行线分线段成比例定理. 这两个问题的核心就是微积分, 微积分的历程可以参看文献[3].
第三是几何学. 中学的平面几何在大学里用得很少, 倒是中学不怎么用的尺规作图有用处. 古希腊还有一个杰出成就是知道正多面体只有五个, 这个问题很有意思, 与群论有关, 也与更深刻的数学理论有对应. 当然更深刻的就是几何公理尤其是平行公理的独立性问题, 这引出了非欧几何.
第四是数论. 众所周知的 Goldbach 猜想的影响力并不像它在国内的名声那样, 真正有趣的是 Fermat 大定理. Simon Singh 的杰作《费马大定理: 一个困惑了世间智者 358 年的迷》[7] 堪称此类书籍的典范. 其中会涉及到 Bernoulli 数, 这与
的公式有关, 也与很多数论问题如 Riemann 猜想关系密切. 当然初等数论也有很多有趣的问题[1], 不过如果懂一点群论再看初等数论会好很多, 不论是理解理论本身还是欣赏其中的美.
第五是组合数学. 有趣的问题很多, 只举一个我关心的问题------和谐图. 考虑一个连通图（也就是由平面上一些点——称为顶点——和某些顶点之间的连线得到的图, 整个图形是连在一起的）, 给每个顶点赋一个正整数值. 如果存在一种赋值方法使得每个顶点的赋值的 2 倍等于与之相邻的顶点的赋值之和, 则称这种图为和谐图. 例如
这个图在代数里也能见到, 它与前面提到的 Peter McMullen 的铅笔画是一回事. 从某种意义上说, 它与正二十面体也是一回事. 算是代数、几何、组合的联合体. 当然不仅仅是这一个图. 读者可以尝试把所有的调和图都找出来, 它们与所有正多边形和正多面体有完美的对应关系（McKay 对应）, 也与代数学的其他分支如 Lie 群 Lie 代数、箭图等有密切关系.
结束语
以上都是一家之言, 由于对中学教学不是很熟悉而难免有失偏颇. 教育是一个长期的事情, 不能看短期效应. 其中的很多问题需要探索, 很多想法需要实践检验, 需要有思想的数学教师的参与, 更需要有好奇心和求知欲的学生的参与. 欢迎有想法的同行和感兴趣的同学来探讨数学教育问题, 我的邮箱是 zhufuhai@nankai.edu.cn 或 526373490@qq.com.
参考文献
[1] Baker A. A Concise Introduction to the Theory of Numbers. London: Cambridge University Press, 1984. [2] Derbyshire J. 代数的历史: 人类对未知量的不舍追踪. 冯速译. 北京: 人民邮电出版社, 2010. [3] Dunham W. 微积分的历程: 从牛顿到勒贝格. 李英民, 等译. 北京: 人民邮电出版社, 2010. [4] Klein F. 高观点下的初等数学. 上海:复旦大学出版社. 2011. [5] Stillwell J. Mathematics and Its History. 3rd ed. New York: Springer, 2010. [6] Sandifer C E. How Euler did even more. MAA. 2017. [7] Singh S. 费马大定理: 一个困惑了世界智者 358 年的迷. 薛密译. 上海: 上海译文出版社. 2005