含60度角三角形的性质

有一个三角形,三边长分别为 a 、 b 、 c ,其中 a 、 b 两条边夹角为 60° 。分别以 a 、 b 、 c 为边向外作等边三角形。求证:前两个等边三角形的面积之和,减去第三个等边三角形的面积,将等于原三角形的面积。

我们提供两种方法。一个容易想到的传统做法便是,利用余弦定理求出 a 、 b 、 c 之间的关系。由于 c 所对的角是 60° ,因此有:

2 · a · b · cos60° = a2 + b2 - c2

由于 cos60° = 1 / 2 ,上式化简为:

a · b = a2 + b2 - c2

另外,由于 sin60° = √3 / 2 ,因此我们在上式左边乘以 (1 / 2) sin60° ,在等式右边乘以 √3 / 4 ,等式仍然成立:

(1 / 2) · a · b · sin60° = (√3 / 4) a2 + (√3 / 4) b2 - (√3 / 4) c2

注意到边长为 s 的等比三角形面积公式为 (√3 / 4) s2 ,另外等式左边的 (1 / 2) · a · b · sin60° 正是原三角形的面积,于是命题得证。

我们给出另一种看起来更帅的做法,能够更直接地得到这个结论。容易证明,图中的水平线段 a 和水平线段 b 确实是在一条直线上,它们共同组成了一条长为 a + b 的线段。像上图那样,以这条长为 a + b 的线段为边,作一上一下两个大等边三角形。不难看出,所有的红色三角形都跟原三角形全等,而这又能推出,蓝色三角形就是一个边长为 c 的等边三角形。如果把原三角形的面积记作 X ,把边长为 s 的等边三角形的面积记作 A(s) ,于是有 A(a) + A(b) + 2 · X = A(a + b) = A(c) + 3 · X ,整理可得 X = A(a) + A(b) - A(c) ,命题得证。

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