(非长图)三道适合作为试题的数学建模题目及其评分标准
图1 数学建模在 6 个数学核心素养中的枢纽作用。
本文给出适合在常规考试中作为试题的三道具有数学建模味道的题目，并在每道题后附有评分标准和命制分析。其中：
● 题目1适合放在数学综合性考试（例如高考，或模拟）的第19题位置，替代原导数题目；
● 题目2适合放在数学综合性考试的第 20 题位置，替代原 20 题压轴题；
● 题目3适合放在数学综合性考试的第 14 题位置，替代原 14 题填空压轴题。
读者可以作为日常练习，也可以用作数学建模教育教学素材。希望本文能够抛砖引玉，引发更多的试题命制的讨论与实践。
题目1 ：（本题满分15分）（1）如图2-a，现有一块长度为
米，总质量为
千克，质量均匀的矩形扁平木板立于墙边（木板上边沿紧贴墙面，下边沿紧贴地面），与墙面夹角
，墙面与地面垂直。若地面和墙面平整且光滑，根据物理学规律，木板底端会沿垂直于墙面的方向向外滑动，如图2-b所示。请你求出图2-b中，在木板刚开始滑动时，沿墙面滑动的速度的大小
和沿地面滑动的速度的大小
的比值。请问这个比值受哪些系统参数的影响更为明显，是木板的长度？木板的质量？还是木板与墙面夹角？请说明理由。
（2）若第（1）问中，地面不平整，而是一个下凹的坑，形状为圆柱面的一半，如图3-a所示。图3-b为其侧视图，圆柱面的半径为
米，其它条件不变。假设木板的初始位置如图3-b所示，请问：木板是否会滑动？请说明理由。圆弧形地面上是否存在一点，使得当木板的底端置于此点处，顶端紧贴墙面时，不会发生滑动？
解答及评分标准：（1）在图2-a的侧视图中，建立如图4所示平面直角坐标系，设
。……（1分）
设木板长度为
米，木板与墙面夹角为
。题意可知，
。……（2分）
因木板滑动为一个连续的动态过程，故可视
为关于时间的可导函数
。
在时刻
,
点沿墙面的滑动速度即为
关于时间
的导数的绝对值。即，
。
点沿地面的滑动速度也为
关于时间
的导数的绝对值。即，
。……（3分）
，两边同时对
求导数，可得
，……（4分）
由题意
，故有
进而
。……（5分）
由题意，当木板开始滑动时，
，故
。……（6分）
且由推导过程可知，木板长度
和木板质量对结果无影响，速度之比由木板与墙面的夹角
所唯一决定。故只有木板与墙面的夹角对结果有影响。……（7分）
（2）在图3-b中，建立平面直角坐标系如图5。设
。……（8分）
设
重点为
，则
，……（9分）
由题意，点
在以
为圆心，半径为
的圆弧上，故有
，
再由于木板长度为
米，故
， 于是有方程组
……（10分）
从这个方程组中消掉
，可得
。
此轨迹方程在
时适用。……（11分）
同第（1）问解答中相同，将
视为关于时间的可导函数
，则有
，……（12分）
当
时，
带入上式可得
，当
时。……（13分）
由于木板的重心在侧视图中处于线段
中点处，且在
时，当
时有下降的趋势，根据物理学中的能量守恒原理，重力势能将转化为动能，故木板会滑动。
另一方面，由于
。
若
，则
；
若
，则
。……（14分）
故存在
，使得
，此时重心已位于稳定位置，无外力作用下，木板不会发生滑动。……（15分）
题目1分析：详见表1。
表1：题目1的分析与命制的启发。
题目2 ：（本题满分 15 分）二分法查找方法是在计算机科学中有着重要应用的方法，它能够以
的复杂度在排好顺序的一列数据中，找到指定的数据。具体操作方法如下：
假设有一列从小到大排列的实数：
。
设
。若指定
，则
，使得
。
（1）按照下述算法可以找到
所对应的指标
，其中 "
" 表示向下取整，例如：
。请你补足流程图中缺失的步骤：_______。
（2）设对于给定的
，（1）中算法结束时
的取值为
，这是一个关于
的函数。当
时，
_______。
（3）在第（2）问的基础上，设
为随机变量
所有可能的取值构成几何, 且
服从均匀分布，即
。
（ⅰ）实数
的值为_______。
（ⅱ）求证期望
满足不等式
。
（4）香农在1948年发表了划时代的论文《通信的数学原理》，给出了信息熵的定义[4]。具体地讲，若离散随机变量
服从分布函数
，即
，
其中
为
所有可能取值所构成的集合，这里规定为有限集。则
的信息熵
定义为
，
其中
表示对所有的
求和。香农用信息熵
来表示描述随机变量
所需的比特数的期望值，这个值可以看做随机变量
所含有的不确定性的"多少"。
猜想：
，其中
表示集合
中的元素个数。
请你证明此猜想。
（5）结合第（3）、（4）问，简要论述二分法的最优性。
解答及评分标准 ：
（1）
。……（1分）
（2）
。……（2分）
（3）
（ⅰ）
；……（3分）
（ⅱ）首先，对
用数学归纳法，证明
。……（4分）
①当
时，由题意
，均满足结论。
当
时，由题意，
，均满足结论。……（5分）
②假设当
时，结论成立，即
，……（6分）
则当
时，由题意，
，
从而由归纳假设，此时
，于是
, 即
时也成立。……（7分）
由①、②，根据数学归纳法可知，
对
均成立。……（8分）
又
。
同理，
。
综上所述，
对
均成立。……（9分）
（4）先证明两条引理：
引理1 ：设
，且
，则有
引理1的证明：设
。
则
。
故由导数的定义可知
由于
只有一个极大值为
, 故 0 为
的最大值，于是有
。进而
，
即
引理2：
设
则有
引理2的证明：对
用数学归纳法。
①当
时，由引理1，可知结论成立。
②假设
时结论成立，即，
，
其中
。
则当
时，对于满足
的
，有
由归纳假设可知
上式
，
再由引理1中结论，注意到
，于是有
上式
。
故当
时，结论也成立。
由①、②，根据数学归纳法可知，结论对所有的
均成立。……（12分）
回到猜想的证明，根据引理2，注意到
，于是有
综上所述，猜想成立。……（13分）
（5）当
服从
上的均匀分布时，由信息熵的定义，有
，
由（4）中结论，此时
达到信息熵的最大值。
又因为
所需的比特数的期望值，
表示二分搜索法中算法迭代的次数。由（3）中结论，
，从而
与
之差小于
。又因为比特为整数，故从描述随机变量的角度来看，可认为此时二分法达到最优下界。……（15分）
题目2分析：详见表2。
表2：题目2的分析与命制的启发。
题目3：（本题满分5分，填空题）拓扑学(Topology)是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的性质的学科[5]。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。三维空间的欧式拓扑学中，若一个空间几何图形
能够通过连续变换得到另一个空间几何图形
，则称这两个空间几何图形互相"拓扑同胚"。所谓的"连续变换"要求变换的过程中既不撕裂也不粘连。例如：下左图中的空间曲面（数学上称为"环面"），和下右图中茶杯的外表面就是拓扑同胚的。
（1）下左图为一个带有两个"洞"的"甜甜圈
的外表面，围绕其中的一个"洞"画上了一条封闭的曲线
。通过对这个"甜甜圈
"进行连续变换（变换过程中此封闭曲线
)也进行连续变换，不粘连不撕裂），可将其变为与"甜甜圈
"拓扑同胚的"甜甜圈
"（此时封闭曲线
变为封闭曲线
，使得曲线
围绕在两个"洞"外，如下右图所示。请你在下面的方框中画出其中的变化过程（画出你觉得可以说明这个过程的两个图即可）。
（2）现一个具有
个洞的"甜甜圈
"（见下图），
，如果在其表面画一个仅围绕第1个"洞"的封闭曲线
，那么通过对这个"甜甜圈
"进行连续变换（变换过程中此封闭曲线
)也进行连续变换，不粘连不撕裂），可将其变为与"甜甜圈
"拓扑同胚的"甜甜圈
"(此时封闭曲线
变为封闭曲线
），使得曲线
围绕在其它某些"洞"外，则曲线
最多能套住_______个"洞"。
（3）下面两对图形中，互相拓扑同胚的有_______。（填写所有正确的序号）
解答及评分标准：
（1）见下图……（2分）
（2）
；……（1分）
（3）①②；……（2分）仅答出①或②中的1个给1分。
题目3分析：详见表3。
表3：题目3的分析与命制的启发。