前言 PREFACE

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原理证明：

当反比例函数交矩形ABCO两边与D,E两点时

AD/DB=CE/BE，AD/AB=CE/BC，BD/AB=BE/BC

连接DC与AC，则DC∥DE

当矩形在反比例函数内部时，延长线形成线段同样成比例

典型例题：

1.如图1，双曲线y=k/x与直线交于点、，轴于点，轴于

点，请探究直线与的位置关系，线段与的大小关系.

②如图2，双曲线y=k/x与直线交于点、，轴于，轴于，

轴于，轴于，请探究直线与、的位置关系，以及

线段与的大小关系.

2．（2019·永康市模拟）如图，A、C分别是x轴、y轴上的点，双曲线y＝2/x（x＞0）与矩形OABC的边BC、AB分别交于E、F，若AF：BF＝1：2，则△OEF的面积为（　　）

A．2 B．8/3 C．3 D．10/3

【分析】设F点的坐标为（t，2/t），由AF：BF＝1：2得到AB＝3AF，则B点坐标可表示为（t，6/t），再利用反比例函数解析式确定E点坐标为（t/3，6/t），然后利用△OEF的面积＝S矩形ABCO﹣S△OEC﹣S△OAF﹣S△BEF和三角形的面积公式进行计算．

【解答】解：设F点的坐标为（t，2/t），

∵AF：BF＝1：2，

∴AB＝3AF，

∴B点坐标为（t，6/t），

把y＝6/t代入y＝2/x得x＝t/3，

∴E点坐标为（t/3，6/t），

∴△OEF的面积＝S矩形ABCO﹣S△OEC﹣S△OAF﹣S△BEF

＝t·6/t﹣1/2×2﹣1/2×2﹣1/2·(6/t-2/t)·(t-t/3)

＝8/3．

故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数y＝k/x（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝k/x（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

1．（2019·伊金霍洛旗一模）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝k/x（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　）

A．9/2 B．27/4 C．24/5 D．12

【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．

【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，

∴AB＝OC，OA＝BC，

设B点的坐标为（a，b），

∵BD＝3AD，

∴D（a/4，b），

∵点D，E在反比例函数的图象上，

∴ab/4＝k，∴E（a，k/a），

∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣1/2·ab/4-1/2k-1/2·3a/4·（b-k/a）＝9，

∴k＝24/5，

故选：C．

【点评】此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．

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