整除和余数（二）

昨天有人后台问我，他家娃做不到举一反三，有没有什么办法？

办法？就是一直跟着我公众号走啊！

要知道很多人一辈子也学不会举一反三啊，吃饭是基本技能，系鞋带是基本技能，但是举一反三并不是啊！

何况代数、几何的差异，使得举一反三这四个字说起来容易做起来难。我只能说你一直follow我的公众号，可能能帮你孩子培养起举一反三来，但是世界上谁敢说我一定能帮你孩子做到举一反三？

教育孩子一定不能着急，你造娃的时候猴急猴急的，怎么教育娃就这么没耐心呢？我写的这个系列文章的根本目的在于教家长怎么教孩子，你要花时间陪孩子，并且给孩子指出有哪些可能是正确的路，哪些是错误的路，不要让孩子把你蒙了。

如果你说你实在看不懂，没耐心看，那以后就请您不要苛责孩子——你一个成年人都没有耐心去理解，凭什么要求你认知能力不健全的孩子做到呢？讲道理，这些文章都很浅显，除了因式分解的第11讲有一点点难度，其他难的我都没涉及。如果你愿意把孩子扔进培训班由他自生自灭，那么您请自便。

有了昨天的简单分析之后，我们来看稍微难一些的整除问题。

某七位数1993xyz能同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除，那么xyz是多少？

好了旁友，我已经昏古气类。。。

昨天只是考虑两个数，都已经要崩溃了，现在考虑8个数？！

很多家长从少年时代一直到现在看见数学题就烦，那怎么可能搞的好嘛！一定要冷静，只有冷静才能发现解决问题的方法啊！

首先我们来看，虽然这里有8个数，但是如果被8整除，那么必然被2,4整除，所以转眼就变6了数了吧？

然后被9整除，是不是一定被3整除了？同时被8,9整除必然被6整除啊，所以是不是只剩下4个：5,7,8,9？

再看，如果被5和8整除，那么末位数字必然是0，所以这这时候只剩下被7,8,9整除，求x，y各是多少？

题目是不是被简化了很多？

后面不会做，也不要紧，如果能陪孩子分析到这步，也是极好的啊！得不到最后结果，能做出一部分，这本身就是胜利吗！

接下来，我们就来考虑各自整除的特点了：

被7整除是最麻烦的，最后考虑，被8整除的话就看后三位数，因为结尾是0，所以xy构成得了两位数只要是4的倍数就可以了，也就是从04-96，共24个数，这时候哪怕你一个个试，最多也只要24次就能把答案凑出来了，相比原来1000次，计算量已经降低很多了。

再考虑被9整除，1993各位数字之和是22，所以x+y只能等于5或者14.

先来看5，两数之和等于5，并且要是4的倍数，那么只能是32，代入原数，得到1993320，刚好能被7整除；

再来看如果和是14，并且xy要是4的倍数，那么只能是68，代入之后1993680并不能被7整除，所以不满足题意。

是不是不像想象中那么难？

为什么说数学能很好地锻炼逻辑思维能力？从上面整个抽丝剥茧的过程我们就可以看到：丝丝入扣——这四个字简直写满了全过程。

好，我们再来一个更难一些的：

已知41位数5555....x999...9（5和9各有20个）能被7整除，求x是多少？

估计九成以上的人直接就把题目给撇了。

说好的7的整除规律很麻烦的呢？！

怎么就出要被7整除的呢？！

可题目就出了怎么办吧？

平复一下激动的心情，然后心平气和地来看问题。

我们考虑被7整除的特点是：最后一位数乘以2减去其他剩下的数字组成的数，得到5555....x999...81，再操作变成5555....x999...6，完全没有规律可言！

怎么办？

别忘了，被7整除还有一招：用末三位数减去前面的数，如果能被7整除，那就能被7整除！

这样操作一次就变成了5555....x999...000，而000不影响对7的整除性质，所以只要考虑5555....x999...9（14个9）能否被7整除即可，这样操作三次，就变成了考虑5555....x99能否被7整除即可！

是不是简化地很快？

但是前面的那一串5可怎么办？

通过观察之后我们发现，999999是一定能被7整除的！任何六个一样的数字都能被7整除！所以，555....555（18个5）一定能被7整除，题目就变成了55x99什么时候能被7整除。

这时候，后三位减去前两位得到x44，然而我们注意到，44=100-56，而56是7的倍数，也就是说，(x+1)00-56是7的倍数，那x只能等于6了，题目做完了。

这一路分析下来，有很多举一反三的地方可以体会。

所以，整除问题一定要先把整除的性质弄明白！

附：被7,11,13整除性质的证明。

设一个数为1000x+y，我们改写成1001x-x+y，因为1001是7,11,13的倍数，所以我们只要验证y-x或者x-y是否能被7,11,13整除即可。证毕。