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【点拨】本题以TOP3三角形为素材考察翻折运动背景下的线段比问题，涉及到一题一研1、2、3的全部相似型，值得练习。基于确定性分析，容易看出原题题干中有条件多余的瑕疵。分析待求量，可知两条线段在同一直线上且共端点，本质就是确定点F在线段CD上的位置。基于关键点分析，优先考虑构造相似型进行等比转化，而不是分别计算出两条线段的长度再求比。解法1立足TOP3三角形的直角边的整数比（三角比），进行了多米诺骨牌式的连环导边操作，借助X字型比例线段求得结果。该解法添线自然，计算量小，需要消化为简化运算而采取的先设最小直角边的设边技巧。解法2的破题视角还是关键点，先确定了点D在AB上的位置,由翻折性质很容易得到D就是AB中点的结论（DE是折痕，垂直平分AB）。接着我们可以注意到本题的关键点除了点D、点F之外，还有点E（这也是出题人给一个AC长为8的条件的原因，主要是想简化同学们的计算），常规解法是通过勾股定理或三角比确定点E在AC上的位置。解法2用了一个倍角结论，即两个正切值为1/2的角之和的角，它的正切值为4/3（类似地，两个两个正切值为1/3的角之和的角，它的正切值为3/4）。这样就确定了三角形是3/4/5三角形，而等边代换后，就可知AE与CE之比就是BE与CE之比，即为5比3。过点D作BE的平行线，就构造出了上下两个A字型相似，其中下方的相似恰为中位线相似（DG是△ABE的中位线），借助A字型比例线段求得结果。解法3注意到了四点共圆，借助双蝴蝶型比例线段求出线段的长度再求比，涉及无理数的计算，稍显繁琐。解法3具体是通过直中半（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）导角得到蝴蝶型相似的，当然也可以直接由对角互补得到共圆，再导出等角得蝴蝶型相似。由于蝴蝶型相似一定是成对（两组）出现的，本题可以选择其中任何一组来解题。解法4的双X子型是解法2双A字型的姊妹篇，两者本质统一于梅氏基本图，即解法5的高观点定理（梅涅劳斯定理），只是添加平行线的位置不同而已。解法6引入共边定理，给我们提供了一个不落俗套的求解共线线段的线段比的视角，实质是反向利用三角形面积的结果来推得线段比，可以称之为“反向操作”。我们曾经将三角形面积比问题分为三类进行归纳（相似比平方、底高转化、分别底高计算），但在这里，面积变成了一个解题工具，要学习欣赏这种变通的思路。本题的变式练习在同期的编题实战中发布，请自行查看。
