高考数学专题:空间几何体的表面积和体积
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一、空间几何体的表面积
问题1:有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发,沿着圆柱侧面爬行一周,到达上底面圆周上一点B(线段AB是圆柱的一条母线),问蚂蚁爬行的最短路线是多长?
平面展开图:沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形,这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。
(一)棱柱、棱锥、棱台的侧面积
1、直棱柱:侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。
正棱柱:底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
◆S直棱柱侧=ch其中c为棱柱的底面周长,h直棱柱的高。
2、正棱锥
定义:如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
性质:
(1)正棱锥的侧棱长相等。
(2)侧棱和底面所成的角相等。
棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。
◆S正棱锥侧=
ch´(其中c为棱锥底面周长,h’为侧面等腰三角形底边上的高——斜高)
3、正棱台
定义:正棱锥被平行于底面的平面所截,截面与底面之间的部分叫做正棱台。
侧面展开图是由各个侧面组成的。
S正棱台侧=
(c + c’)h’
(其中c,c’为棱台上下底面的周长,h’为各个等腰梯形的高,即棱台的斜高)。
(二)、圆柱、圆锥、圆台的侧面积
把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上,展开图的面积就是它们的侧面积。
1、圆柱的侧面积
◆如果圆柱底面半径是r,周长是c,侧面母线长是l,那么它的侧面积是
2、圆锥的侧面积
◆如果圆锥底面半径是r,周长是c,侧面母线长是l,那么它的侧面积是
3、圆台的侧面积
◆如果圆台的上、下面半径是
周长分别是
侧面母线长是
,那么它的侧面积是
二、柱锥台的体积公式
长方体的体积公式是什么?如:某长方体的长宽高分别是7cm,5cm,4cm,其体积为多少,即为多少个正方体?
1、祖暅原理
两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等。
2、柱体的体积公式
3、锥体的体积公式
4、台体的体积计算公式
◆柱体,锥体,台体之间的关系:
5、球体的体积公式与表面积公式
(1)利用祖暅原理可得
(2)利用极限的思想推导出球的表面积公式:S球面=4πR2
典型例题
例1. 有一根长为5 cm,底面半径为1 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确到0.1 cm)
解:由题意知:BC=5 cm,AB=8
,点A与点C就是铁丝的起止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度。AC=
例2. 如图是一个奖杯的三视图,(单位:cm)试计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm3)。
解:V正四棱台=
V长方体=6
=864
V球 =
V= V正四棱台 + V长方体+ V球
例3. 一个圆柱形的锅炉,底面直径d=1m,高h=2.3m。求锅炉的表面积(保留2个有效数字)。
解:底面半径r=
S侧面积= cl=2
=
=2.3
S表面积 = S侧面积+ S底面积=2.3
+
8.7
例4. 一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和6cm,高是
cm,求三棱台的侧面积。
解:如图
。连接AO并延长交BC于D,连结
,并延长交
,过
作
E
AD于E
DE=DO-
=
,
=
S正三棱台
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