周期函数的对称性

在讲授习题课时，遇到这样一道函数图像题：

这道题本身没有什么难度，抽象函数问题，我们只需借助题中条件画出函数的图像，借助于单调性来完成，现将解析分享：

就像刚才提到的，这道题本身比较简单，小编在讲授这道题的时候，瞬间想到，之前我们有提到过双对称函数一定是周期函数，并且给出了相应的结论和证明，而这道题中已知函数的周期性以及中心对称，我们得到了函数的轴对称，是不是这类函数都有这般的性质，以及在数值上是否仍满足之前提到的关系：【参考2016年4月20日的公众号文章《双对称性函数的周期性》】

周期是相邻两条对称轴之间距离的2倍，是相邻两个对称中心之间距离的2倍，是对称中心与相邻对称轴之间距离的4倍。

接下来，我们直接利用一般情况来证明：

但是我们由函数的周期性以及中心对称性无法得到轴对称的性质，同样由函数的周期性以及轴对称性无法得到中心对称的性质，实际上，我们观察一下两个我们熟悉的三角函数函数图像：

那么什么样的周期函数若有对称中心，一定有对称轴呢，反之也成立呢？我们观察我们最先遇到的题型就会发现，题目中给出的函数周期形式的说法不同。

最后再总结一下：

我们已经知道：双对称函数一定是周期函数，最小正周期是相邻对称轴之间距离的二倍；是相邻对称中心之间距离的二倍；是对称中心与相邻对称轴之间距离的四倍。

反过来，如果一个周期函数有对称中心，则对称中心以周期的一半循环出现；如果有对称轴，则对称轴以周期的一半循环出现。

特别的，如果周期函数每隔半个周期互为相反数，则存在对称中心，一定存在对称轴，相邻的间隔周期的四分之一；同样若存在对称轴，一定存在对称中心，相邻的间隔周期的四分之一。

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