折大于直又一道题

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今天来看这道也是QQ群里发的题：

动一动：

PM为两动点之间距离，一般不好求，应该存在特殊关系！

连辅助线如图：

G为中点则PM与PN、PG、NG，BG皆为倍数关系，有倍数关系就可以转化最值！PGM为固定形状（SAS），所以PM和GM也有倍数关系！

再利用折大于直，其中OM=1为定长！

这样就完美了吗？并没有！！！还存在一个缺陷，B、G、M、O是否能共线？也就是能不能取等号？

通过软件当然易看出存在共线时刻！

但是观察不靠谱啊！软件也不靠谱啊！某大哥天天在QQ群里说几何不严谨！几何无用论！（言论虽然偏激，但是我们要学会吸纳百家之长）看来还是要用计算来解决啊！

能否共线其实是所有依靠折大于直原理解释的题的共同问题！一般三个点时，中间为动点，这样就显然能共线！但是本题是中间是G、M两个动点，这就不一定了。之前的那一题也是存在这个问题的：