2021塞尔维亚数学奥林匹克 中文翻译

考试时间:2021年5月

第一天

1.整数满足. 求证:存在正整数, 使得一定有一个因数可以表示为的形式.

2.图论王国有个城市,编号分别为. 其中一些城市之间有道路相连, 我们称有道路直接相连的两个城市是相邻的. 两个城市之间至多只有一条道路.
国外游客彼得想要游览图论王国次. 他的旅游计划如下: 对,彼得的第次旅行从编号为的城市开始. 随后, 每天他从这个城市相邻的城市中, 找出编号最小的那个, 如果本次旅行他还没去过这个城市, 那么他第二天就去这个城市, 如果本次旅行他已经去过了这个城市, 那么本次旅行结束.
已知经过次旅行之后, 彼得去过了图论王国的每个城市, 且到访每个城市的次数正好相同. 求图论王国的道路个数的最大值.

3.在中, 为最短边. 其外接圆上两点满足 且 . 求证: .

第二天

4.对凸四边形, 若存在凸四边形, 使得均在四边形内部, 且其对角线长度之和大于四边形的对角线长度之和, 就称四边形为"粗鲁"的.
给定实数, 已知四边形不是"粗鲁"的, 但对任意满足 且 的点, 四边形 一定是"粗鲁"的. 求四边形的最大角的所有可能值.

5.求所有函数, 使得对任意实数, 均有

6.给定有限正整数列. 若它的子数列 满足, 存在正整数, 使得 对 均有 成立, 但 (若 )或 (若 )时, , 就称这个子数列数"重复的".
求证: "重复的"子数列个数小于.