多解 | 勾股定理的16种典型证明方法

来源：数学教育（ID：mathedu01）； 作者：丁前鹏

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a b，所以面积相等. 即

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

由作法，PBCA 是一个矩形，所以 RtΔAPB ≌RtΔBCA. 

即PB =CA = b，AP= a，从而PH = b―a.  

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .

又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT  ∠TDH = ∠HDA  ∠TDH = 90º，

∴ DGFH是一个边长为a的正方形.  

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a （b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE=∠ABH=90º，

∴ ∠TBH=∠ABE.

又∵ ∠BTH=∠BEA=90º，BT=BE=b，

∴RtΔHBT ≌RtΔABE.

∴HT=AE=a.

∴GH=GT―HT=b―a.

又∵ ∠GHF ∠BHT=90º，

∠DBC ∠BHT=∠TBH ∠BHT=90º，

∴∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED=b―a，∠HGF=∠BDC=90º，∴RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ=∠BEA = 90º，

可知∠ABE=∠QAM，

而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌RtΔQAM . 

又RtΔHBT ≌RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌RtΔQAM .

由RtΔABE ≌RtΔQAM，

又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.

∵ ∠AQM ∠FQM = 90º，∠BAE ∠CAR= 90º，

∠AQM=∠BAE，

∴∠FQM=∠CAR.

又∵ ∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，则 AD=c.

∵EM=EH HM=b a , ED=a，

∴DM=EM―ED=-a=b.

又∵∠CMD=90º，CM=a，∠AED=90º， AE=b，

∴RtΔAED ≌RtΔDMC.

∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.

∵∠ADE ∠ADC ∠MDC=180º，

∠ADE ∠MDC=∠ADE ∠EAD=90º，

∴∠ADC=90º.

∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵∠BAF ∠FAD=∠DAE ∠FAD=90º，

∴∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，

∴ΔABF ≌ΔADE.

∴∠AFB=∠AED=90º，BF=DE=a.

∴点B、F、G、H在一条直线上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵AB=BC=c，BF=CG=a，

∴RtΔABF ≌RtΔBCG.

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