2021年高中数学联赛几何题解答
2021年高中数学联赛于今天早上举行,除了江苏、福建、河南等少数几个省市因为疫情原因推迟考试外,大多数省市参加了此次竞赛。二试的竞赛题目如下。
第二题为几何题,本文写一下本人的思路。
老规矩,先根据题意画出准确的图形,没有
特殊的条件,按部就班画图即可。
然后挖掘图形的基本性质,由平行及切线知
△AMD∼△BAC,由此可以确定AD,即AE长度。
从而可以确定点P,发现PQ//BC,这个倒角不难得到。
下面从结果入手,要证∠QCB=∠BAC,
则∠PQC=∠BAC=∠QMC,
从而只需确定CP,MP,MQ即可确定△CMQ。
其中最麻烦的是CP,由共圆可得
△BCP∼△BAE,从而可以算出CP。
这样本题最自然的思路就是计算了。
具体过程如下:
证明:设△ABC边角为a,b,c;A,B,C.
由AB//DQ得∠QMP=∠AMD=∠A,
由切线得∠MAD=∠B,∠EAB=∠C,
由EBPA共圆得∠BPC=∠E,
由ADPQ共圆得∠MPQ=∠ADM=∠C,
∴△AMD∼△BAC∼△QMP且△BPC∼△BEA,
若DM上Q'满足∠Q'CB=∠A,则同样由正弦定理得到MQ=MQ',
由同一法Q,Q'重合,即∠QCB=∠A。
此题目结构新颖,初看环环相扣、诸圆林立、难以下手,稍加分析后发现不难计算得证,当然本题应该有几何的方法,不过上述思路应该是最直接而自然的吧。
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