如何解一个数论题目，所有学生都该掌握的方法

在这篇文章中，我想讨论一个来自瑞典数学奥林匹克竞赛的一个问题。该问题如下。

找到所有整数n，使得：

我们一般用ℕ表示自然数的集合，用ℤ表示整数的集合。因此，我们可以把这个问题改写成：

找出所有n∈ℤ，满足下式：

我强烈建议你们自己尝试解决这个问题。我概述了我在解决这种形式的问题时总是问自己的三个问题。这些问题的目的是试图缩小可能的解的范围。

问题1：是否有任何n值我们可以立即排除，因为会导致某些数学错误？

每当面对任何需要寻找一组解的问题时，这总是我问自己的第一个问题。这将有助于我们排除不可能的解，因为它们会导致某种数学错误。这些错误包括：除以零，取负数的平方根，以及取负数的对数等。由于我们的变量：

并不太复杂，唯一对我们有用的是我们不能除以零！所以我们需要确保避免 "除以零"。唯一导致除以0的n值是n=7。所以，我们确定n≠7。诚然，这并没有使我们这次的搜索范围缩小很多，但这总是一个很好的第一步。

问题2：是否有任何n的值是我们可以立即排除，因为它们不在我们解集中？

我们想找到n∈ℤ的值，以使：

因此，如果有任何n∈ℤ的值能明显导致

不在自然数集中，我们就可以立即将其排除。

考虑到这一点，请注意：

所以，如果n<7，那么：

因为指数是负数。因此，从问题1和问题2中我们知道，如果n≤7，则不满足条件，所以我们将把搜索范围限制在n≥8。

问题3：是否有任何你还没有使用的信息可以帮助你进一步缩小搜索范围？

在这个问题的这个阶段，我建议利用你尚未使用的任何信息来进一步缩小可能的解的集合。但在这个问题上，我们已经使用了所有的信息，但仍然没有解决问题，我们该怎么办呢？有两个选择。要么你有处理类似问题的经验，知道一些技巧，要么你只能使用数学家的万能方法了。没错，这就是数学的秘密，所有数学家在陷入困境、前路被黑暗笼罩时使用的方法。

让我们制作一个表格，看看我们是否能发现一些规律。你可能发现不了，或者，如果规律确实存在，你将不得不罗列出前1000项，甚至数千万项。在这种情况下，我们只能求助于计算机了。

现在，考虑到这是一套数学奥林匹克竞赛的问题，不需要罗列很多项就能发现这个规律，所以让我们试试。

我们注意到，当n=8和n=9时，都是符合要求的。

此外，n=10、11、12、13、14都不满足要求，因为：

你可能已经开始看到这里的规律了。随着我们对n的取值的变大，2的幂增长得太快了，永远不会有一个n∈ℤ的值，n≥10，使得：

特别是，我们注意到，对于n≥11。

因为它被在1和2之间。因此，唯一的解将是n=8和n=9。

现在你可能觉得这很清楚，但数学需要证明，所以我们需要证明我们的结论。我们已经证明了n=8和n=9是解，我们只需要证明它们是唯一的解即可。要做到这一点，我们要证明对于任何n≥10的情况，我们都无法得到一个解。我们首先注意到n=10不是一个解，我们在上面的计算中证明了这一点。接下来我们证明，对于n≥11的情况，我们无法得到一个解，原因正是我们上面给出的。特别是，我们证明，对于n≥11。

所以不可能是一个自然数。对于n≥11：

所以我们实际上只需要证明对于n≥11：

让我们试着让这个不等式变得更漂亮一点。整理得到：

有很多方法可以证明这一点，我将使用归纳法。证明过程如下：

第一步：证明第一条陈述是真的。对我们来说，第一条陈述是当n=11时：

第二步：证明命题k是真的前提是命题k-1是真。另一种说法是，假设k-1是真，证明k是真。

现在让我们来应用这个方法。回顾一下，我们想证明，对于n≥11：

第一步：我们证明对于n=11来说是真。实际上，我们已经在上面证明了这一点，但我们还是再做一次吧。将n=11带入，得到：

这当然是真。

第二步：我们假设(2^7)(n)<2^n这句话对n=k-1来说是真的，并以此证明它对n=k是真。我们假设：

并利用这一点证明：

因此，从

最后我们注意到，由于k-1≥12：

因此：

这就是我们想要证明的东西。因此，利用归纳法，我们已经证明了我们的结果是真的，反过来也证明了n∈ℤ的唯一值，即：

是n=8和n=9。