微积分传奇（4） | 缘起：不仅仅是圆周率
作者：蒜泥学数学，山东理工大学数学与统计学院教师
不仅仅是圆周率
使用定理2，欧多克索斯证明了一个重要命题，它后来被收录到了《几何原本》的第十二卷中，是第十二卷的命题2，其原始的表述是这样的：
我们把这个命题重新整理为本书的定理3，并将欧多克索斯的证明呈现给大家．
定理3.设圆与的面积分别为和，直径分别为和，那么
证明：记，下证．假设，不妨设．那么是一个小于的正实数．由定理2可知，圆有一个内接正多边形，使得的面积满足
即
作圆的内接正多边形，使得相似于，那么很容易证明的面积满足
又因为，所以
注意内接于圆，于是其面积小于圆的面积，即．又因为，所以，矛盾．同理可证，当时仍有矛盾，因此，结论得证．□
之所以说这个定理很重要，是因为如果我们记两圆的半径分别为和，那么由 出发，很容易发现 即 也是正确的．
这表明圆的面积和其半径的平方之比总是一个常数．我们现在都知道了这个常数就是， 这相当于证明了圆周率是个常数．可不要小看这个成就． 其实很少有古代文明能独立地发现这一点．从目前的考古发现来看，古埃及人很可能不知道圆周率是个常数，因为他们经常这么干：对于比较大的圆，他们就用边数比较多的正多边形来代替它，否则就用边数比较小的正多边形，而从来不考虑圆周率是不是个常数．而古代的希腊人和古代的中国人，却是很明确地知道这一点的！
严格说来上一节的定理2和本节的定理3放在一起 才构成了一个完整的穷竭法证明，它相当于间接给出了圆的面积公式．随后，在《几何原本》第十二卷中又出现了大量的使用类似方法证明出的几何命题．
但是，我们之前提到了，欧多克索斯对穷竭法原理（即定理1）的证明有一个不大不小漏洞．尽管欧几里得将这个证明收录在了《几何原本》中，但是他也没有发现这个漏洞．直到后来，欧几里得有一个学生叫埃拉托塞，而埃拉托塞又有一个学生，这个年轻人发现了这个漏洞，并且将古希腊数学推向了高峰，他就是著名的阿基米德．阿基米德发现欧多克索斯的证明里默认了一个未加证明的事实，他将其补充为一条公理，也就是著名的阿基米德公理． 不仅如此，他还将穷竭法进一步发扬光大．事实上证明了椭圆的面积公式、抛物线弓形的面积公式、螺旋线所包围的面积、球的表面积公式、很多旋转体的体积公式，他甚至还研究过抛物线与等轴双曲线的交点问题，这相当于解一种特殊的三次方程．总而言之，阿基米德已经是古希腊世界中最接近微积分的人．
但，也仅止于此．
阿基米德生于希腊移民在意大利建立的城邦叙拉古，在他出生的时候，古希腊文明已经没有了往日的辉煌．这时盛极一时的亚历山大大帝帝国已经解体，古希腊文明的中心转移到了埃及的托勒密王朝．而阿基米德所在的叙拉古则夹在新兴的南北两强之间——南边的是迦太基共和国，而北边的则是罗马共和国．最终叙拉古王国被罗马军队所灭，阿基米德本人也死于罗马士兵的剑下．又过了不久，整个地中海世界都匍匐于罗马共和国、以及后来的罗马帝国的治下．罗马人对相对抽象的数学并不是太感兴趣，他们更在意那些比较实用的农学和工程学．人类历史上第一次对于微积分的进取至此戛然而止．
这就是欧多克索斯为微积分的发展所埋下的第二条线索——穷竭法的故事．再后来，随着基督教在罗马帝国被立为国教，古希腊的数学以及其他科学被看作异教徒的邪门歪道而遭到打压，甚至不少数学家遭到攻击和残杀．随着最后一个古希腊数学家希帕提娅被烧死在亚历山大的城市广场，古希腊数学终于走向了终结．此后，古希腊的数学典籍中的一部分被穆斯林保留并发展成相对独特的伊斯兰数学；另一部分保留在分裂后的东罗马帝国（即拜占庭帝国），虽然拜占庭人对于古希腊数学依然不感冒，但毕竟这些古希腊语撰写的资料被原汁原味地保留了下来．这两部分古籍资料静静地等待了一千年．
一千年后，随着各种古希腊典籍被重新介绍到意大利，文艺复兴开始．欧多克索斯在一千八百多年前埋下的这条线索终于又被人们所了解，等到了十七世纪，当时的西欧数学家终于给欧多克索斯所创立的这种方法正式定名为'穷竭法'．再后来，英国人牛顿和德国人莱布尼兹才分别发明了微积分．
那么，文艺复兴以后的西欧数学家是为了解决什么问题才又一次关注穷竭法呢？这就要说到欧多克索斯所埋下的第三条线索．第三条线索与欧多克索斯的另一重身份有关，他不仅是个数学家，而且更多时候，他是一个仰望星空求索无穷的观星者！
仰望星空求索无穷
前面我们介绍欧多克索斯生平的时候曾经聊过，欧多克索斯曾经前往埃及游学，据说长达一年以上．在埃及游学的时间里，他学习了天文学和历法的相关知识．后来他曾经一度接手雅典学园．但当他得知家乡尼多斯的人民驱逐了暴君建立起新的政权，他就欣然返回家乡，一面继续进行数学教学和研究，一面承担起另一项工作，那就是：为家乡编制历法．为此他开始了长时间坚持不懈的观星，直到去世．
在观测星空的过程中，他发现，虽然粗略来说所有的日月星辰都大体上是东升西落的，但是在地面上观测到的实际轨迹却远不是这么简单，它们时而加速时而减速，时而前进时而后退．为了研究清楚日月星辰的实际轨迹，欧多克索斯设计了一套数学模型．这个模型简单来说是这样的：
地球是宇宙的中心；
对于某个天体，在地球之外有若干个假想中的球与的运行轨迹有关；
这些球都是地球的同心球，按与地球的距离，由近及远分别记作第一球、第二球......
天体落在第一球上，第一球自东向西带着天体绕着第一球的某个直径转动，我们不妨称这个直径是的第一轴；
但是，的运行如果不是匀速圆周运动，那么就需要第二球上场了；
将的第一轴的两端延长，使之与第二球相交，这样就把第一轴'粘'在了第二球上；
第二球也在绕着它的某个直径旋转，这是第二轴，这样就会带动第一轴转动，间接地带动第一球转动；
于是天体实际上参与了两个运动，一个是绕第一轴的转动，二是随着第一球绕第二轴转动；
如果还是与观测结果不符，就来第三个球......
没错，这就是后来的'地心说'理论的雏形．
关于地心说，我觉得有必要给它正名！首先，地心说本身并不反科学，它只是这一种对一类广泛存在的天文学问题建立的数学模型而已，一如我们今天对各种科学问题所建立的数学模型一样；其次，'是否以地球为描述运动的参照点'，这不是一个需要以对错来论处的事情，运动本来就是相对的，即使是日后的'日心说'也不见得就是对的；第三，也是最重要的，'地心说'理论最核心、也是最重要的部分，恰恰不是后人纠结的'以谁为中心'，而是这样一套数学模型本身的精妙．
那么，我们后来在历史课上学到的'哥白尼的日心说取代地心说'又是怎么回事呢？关键在于，罗马教廷掌权了以后，对地心说进行'阉割'，毕竟这是属于'异教徒'的东西，然后把有利于罗马天主教的东西保留了下来．这样，他们就把科学包装成了迷信！
可叹的是，今天又有多少人还是在这样做呢？
当然，欧多克索斯这个模型还不是真正的'地心说'，我们不妨称其为'同心球模型'吧．事实表明，同心球模型的效果其实是很差的．其一，是因为欧多克索斯时代所掌握的天文学观测资料比较少，第二，则是因为同心球模型实在是过于复杂，必须要求极高的数学水平才能驾驭；第三，这个数学模型无法从物理意义上给出天体运动的解释，比如，这些球是在什么力量的作用下才得以旋转的？最后，欧多克索斯实际上缺少相关工具，比如后来在天文测算中广泛使用的球面三角，再比如圆周率的精确值（当时的古希腊人只是知道圆周率是个常数，但是对其精确值的掌握却并不到位）．
在欧多克索斯之后，出现了一种革命性的理论，即'本轮和均轮'．在这套理论中，地球仍然是宇宙的中心，对于一个围绕地球运动的天体来说，先假想它绕一个点作匀速圆周运动，再假想绕地球作匀速圆周运动．绕作匀速圆周运动的圆就是本轮，而绕地球作匀速圆周运动的圆就是均轮．这已经和实际情况很接近了，因为在很多情况下，其实就是太阳！
随后，我们将见到'地心说'真正的集大成者托勒密．
托勒密是一个生于埃及的古希腊人，他以及他的前辈西帕恰斯使用埃及人和巴比伦人的观测数据，以及他们自己的观测数据，精心地设计了本轮和均轮，并进一步细化和改进了这一套理论．最终，形成了一整套有关天体运行的数学模型，并写入著作《天文学大成》中．
但不幸的是，惨遭罗马教廷阉割的正是托勒密的这套体系．
关于观星者欧多克索斯留下的三条线索，第一条线索'比例论'埋得最深，起作用也最晚，一直要到近代人们才能找到能完美刻画实数的理论体系；而第二条线索'穷竭法'和第三条线索'地心说'则更早起作用．一定程度上讲，对文艺复兴以后的数学家和天文学家们来说，他们正是使用'穷竭法'作武器，在与教廷版'地心说'作斗争的过程中，逐步摸索到近代微积分的大门的．
当然，牛顿说过：'如果我有一些成就，那是因为我站在巨人的肩膀上！'那么，是哪些巨人将牛顿和莱布尼兹扛到了微积分这座数学大厦的门前呢？请看下一章《前奏：巨人的肩膀》！