三角形（二十六）
作者：贼叉
前面所讲的手拉手模型，其实是初中常见的全等变换中旋转变换的特例。所谓旋转变换，是指图形绕着一个固定的点，按一定的方向旋转一定的角度，这样的变换就称为旋转变换。
很显然，一个图形经过旋转变化以后，和原来图形是全等的。特别地：如果旋转角度为180度，那么变换后的图形和原来的图形成中心对称。
自然的问题：除了手拉手以外，还有什么情况下能使用旋转对称呢？
提出这个问题说明你对数学学习已经走上正轨了。我们先来看一些例子，然后请你自行总结，当然，我会在最后揭开谜底。
例：已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，且正方形和△AEF的面积比为5:2，求AB：EF=？
当然，我们可以用暴力解法，设BE=x，DF=y，然后把三块小的直角三角形面积用x，y表示出来，再根据比例关系可以得到xy=1/5。再由勾股定理求出AE，EF，EF的表达式，再利用余弦定理求出∠EAF的余弦，这样又可以得到一组关系。
但是现在余弦定理也被踢出了初中的课本，而且这个计算量有点大，很多学生就算知道余弦定理也未必吃得消，有兴趣的家长可以继续做完。
那么就只能靠纯几何办法了。于是我们需要再来回顾一下题设条件，显然面积比是难以直接入手的，因为三角形的底和高都很难计算，所以应该考虑从45°下手。
由于∠EAF正好是∠BAD的一半，所以∠BAE+∠FAD=45°。比较自然的想法就是作∠EAH=∠EAB，这样自然有∠HAF=∠FAD，并且△AHE和△ABE、△AHF和△ADF看起来就是全等的，我们有一个很明确的目标。
接下来就是试图证明这两对全等。△AHE和△ABE中，除了AE公用，∠EAH=∠EAB以外，我们再也找不到一对角或者一对边相等，所以无法证明全等。
如果这时候想到调整策略，过A作AH⊥EF呢？我们又会发现此时可以得到∠AHE=∠ABE，AE公用，但是仍然得不到更多对应相等的信息了。
所以这条证全等的路彻底堵死了，怎么办？
这时候我们要考虑的是，既然把△AEF拆成两个小三角形，分别和已知的两个三角形全等做不到，那么能不能找一个三角形和△AEF全等呢？
很显然，图上没有这样的三角形，那么我们自然考虑构造一个。由于∠EAF=45°，所以我们可以作∠GAE=45度，AG和CB延长线交于G，这样看起来△AGE和△AFE就全等了。
我们把已知条件写出来，∠GAE=∠FAE，AE公用，然后。。。
又没有然后了！
难道此路又不通了？
别急，我们再看看，虽然此时无法证明△AGE和△AFE的全等，但是注意到∠GAB=∠FAD，且AB=AD，∠ABG=∠D，我们发现△AGB和△AFD是全等的！于是我们得到了AF=AG，于是得到了△AGE和△AFE的结论。
像这样千辛万苦得到的全等一定是非常有用的，我们注意到最后要求的是AB/EF，而△AEF和正方形的面积比为2:5，这个条件可以转化成△AGE的面积和正方形面积比为2:5，即AB：GE=5:4，也就是说，AB：EF=5:4。
贼老师，旋转在哪里？
你看，这个题目中是不是就相当于把△AFD顺时针旋转90°到△ABG？