经典力学告诉你，爱情多么残酷！

作者：刘翼豪（中科院物理所）

经典力学是物理学的基础组成部分。它们描述了万物是如何运动的，并且研究了物体运动的原因。我们下面尝试使用经典力学对爱情进行描述。

牛顿运动定律

牛顿运动三定律是动力学的基本规律。我们假设爱情是一种作用力，把人作为研究对象，则推广得到爱情三定律如下：

• 爱情第一定律：任何人都将保持其单身或恋爱状态，除非作用于他的爱情力迫使他改变这种状态。

• 爱情第二定律：情感状态的变化与所作用的爱情力成正比。

• 爱情第三定律：两个人之间的爱情作用力是相互的，大小相等，方向相反。

下面我们对这三定律进行更加详细和定量的分析：

第一定律对应牛顿运动定律中的“惯性定律”，即力是改变物体运动状态的原因。乍一看，将这一定律推广到爱情之中，十分自然和准确。这说明：想要脱单，要么有人喜欢你，要么你想办法去追到别人。但如果你是单身狗，而且没有人喜欢你，并且你还不主动，那么你就别白日做梦某天你会突然脱单了！天天宅在家里和宿舍是不会改变你的单身状态的！

牛顿第二定律表述为“物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，且与物体质量的倒数成正比；加速度的方向跟作用力的方向相同。”用公式表达为：

考虑到m 的运动不变性，上式进而可写为：

其中，m 是物体的惯性质量，a 是加速度。

为了将爱情统一进该框架，我们假设爱情是一种作用力，则有如下公式成立：

其中，Flove 是爱情作用力；mc 是惯性魅力，表示一个人的魅力值大小，其中，魅力值与外貌、学识、能力、财富等有关。在长时间跨度上，一个人的 mc 是会变化的；但在短时间内，可认为mc 是一个定值；v 表示恋爱进展，v 越大代表恋爱的感觉越明显，进展越快；a 在这里是一个重要的量，称为恋爱加速度，表示一个人陷入恋爱关系的快慢。a 越大，说明沉迷于该恋爱关系的速度越快。a 衡量了一个人对另一个人陷入感情漩涡的深浅（迷恋对方的程度）。

牛顿第三定律说明了这样的事实，力是相互的，A对B施加了一个力，那么B对A也会产生一个大小相同但方向相反的反作用力，并且作用力和反作用力是同一性质的力。值得注意的是，虽然作用力与反作用力大小相同，但是作用在不同的物体上，而且产生的作用效果也不一定相同。

正如上面说的，虽然作用力与反作用力大小相同，但力的作用效果却可以不一样。例如，对于相互吸引的爱情来说，爱情作用力的作用效果就是让对方喜欢上你，也即让对方的增大。根据上面的公式，不难看出，在相同的爱情作用力 Flove 下，一个人的惯性魅力mc 越大，a 就越小。这就好比很多人心中的爱豆，这些明星的mc 值很大，对于相同的Flove，明星的a 值很小很小，但是粉丝的a 值却很大很大。于是，粉丝就会不可自拔地“爱上”这些明星，陷入恋爱的漩涡，产生这是自己的对象的错觉，天天和别人说这是自己的老公/老婆，并且为之争风吃醋。然而，明星们却丝毫不会为之所动，甚至连你是谁都不知道。

相互作用力

迄今为止，我们发现自然界中存在四种基本的相互作用力：万有引力相互作用、电磁相互作用、弱相互作用、强相互作用。爱因斯坦在提出相对论之后，就一直在研究“大统一理论”，希望能将四种基本作用力统一到一个框架之下。其中，电磁作用和弱相互作用已被统一为电弱作用。

强作用和弱作用是短程力，作用范围仅仅在原子核尺度内；电磁作用和引力作用则是长程力，大小随距离的二次方反比衰减。

生活中常见的力除了重力属于引力作用外，其他都属于电磁作用，例如摩擦力、弹力等。

自然界中任何物体之间都存在万有引力。万有引力作用的大小为：

其中，G=6.673 x 10-11N·m²/kg²，称为引力常量。M 和m 为两物体的质量，r 为它们之间的距离。

真空中两个静止点电荷之间的相互作用力可以用库仑定律描述：

其中，k 是静电力常量，Q1 和Q2 分别为两个电荷所带电量（带符号）。

库仑定律和万有引力定律中相互作用的两个物体，它们不需要发生接触就对彼此产生了作用力，因此也被称为超距作用。不过，随着物理研究的深入，人们现在发现了场物质的存在。场物质之间通过接触实现相互作用，场物质与物体之间也通过接触实现相互作用，所以场是传递物质间相互作用的媒质。

▲ 电场以及电场线，图片来自 Brilliant

库仑定律和万有引力定律在形式上十分相近。不过，库伦定律稍有特殊。研究发现，如果Q1 是静电荷，Q2 是运动电荷，那么静电荷对运动电荷的作用力F2 在上式依然成立，但运动电荷对静电荷的作用力F1 不再满足上式，需要修正，并且随着运动速度的提升，修正量越大。于是有下式：

这是不是违背了牛顿第三定律了呢？事实上，在电荷周围存在着某种“看不见”的物质，这种物质分布在空间中且对电荷有作用力，我们把这种看不见的物质称为电磁场。运动电荷与静止电荷在电磁场中受力有差异。我们可以认为 F1 和F2 在这里只是电磁场下的一对作用力与反作用力相对应的一对分力。所以在这种情况下，F1 和F2 的大小有所不同。

▲ 地球磁场示意图。

异地感情衰减定律

我们可以很自然地将万有引力定律推广到爱情中：

其中，G 为恋爱常量，是一个常数；r 为两个人的距离；Mc、mc 为惯性魅力；ρ 为契合系数，与两个人默契程度以及各自的惯性魅力分布有关。

由此，我们得到了牛顿运动定律中Flove 的一种确定形式——爱情引力。

同万有引力一样，爱情引力与两个人的距离平方成反比。随着距离变大，两个人之间相互吸引的引力也随之衰减。这一点其实也很直观，我们很多时候都是对身边熟悉的人产生好感，远隔千里的人我们就很难吸引彼此。

同样，为了定量刻画爱情发展的影响，我们引入以下概念：

• Ek_love：恋爱动能，表示恋爱系统中的恋爱发展的能量，值越大说明恋爱过程越如火如荼，恋情发展越快，感情越好。恋爱动能的表达式如下

• Ep_Love：恋爱势能，表示恋爱系统中的潜在发展的能量，可以转化为恋爱动能或其他形式的能量。取无限远处的势能为0，则恋爱势能的表达式如下：

距离越远，势能就越大。当一对情侣分开一段时间之后，再次相聚时，势能转化为了动能，这就使得动能增大，如干柴遇上烈火，感情迅速升温。这就是为什么大家都说“小别胜新婚”。

下面我们来分析异地恋对感情的影响：

我们来计算情侣分开变为异地恋后损失的恋爱动能的大小。假设一对情侣原来的距离为s0，现在成为了异地恋，相隔的距离为s，则这个过程中恋爱引力做的功为：

距离变远，恋爱引力做负功，于是恋爱势能增加|W|。能量守恒定律是万物遵循的基本定律之一。根据能量守恒，在这个过程中，有

可以看出，异地恋会导致爱情动能的减少。

从图像上可以看到，s 越大，爱情动能减少越多，就会导致恋爱进入停滞状态，放缓两个人关系的进展，感情逐渐消磨。最关键的是，恋爱势能如果不及时转化为恋爱动能，就会转化为其他能量，长时间的耗散之下，虽然下一次转化为动能时会令感情升温，但是能转化的总动能却也随之减少了，因为异地的时候消耗了太多能量。

长此以往，两个人之间的恋爱动能就会越来越少，感情逐渐消散。这就是著名的异地感情衰减定律：距离是破坏感情的一大因素，随着距离的增加，感情也会随之衰减。

爱情胡克定律

生活中常见的力有重力、弹力、摩擦力、浮力等等。下面我们选择弹力和摩擦力进行分析。

弹性物体会因为形变产生回复力。假设弹性体无形变时的长度为L，称为自由长度。通过拉伸或者压缩后，物体发生了△x 的形变量，则物体产生的弹力可用胡克定律描述：

其中，k>0，称为劲度系数，与材料本身的性质有关。

我们对爱情建模如下：假设每个人是空间中的一个小球，小球系在一根弹性系数为 k 的弹簧上，如下图所示：

▲ 一张虽然抽象但是很有灵魂的示意图

此时弹簧处于自由状态，没有拉伸。

假设空间中另一个人出现了。假设两个小球的初始距离为L，小球的初速度均为0，两根弹簧初始时均无形变，弹性系数均为k。墙固定不动，空间为理想空间，没有能量耗散。此时，两个小球就会开始运动。小球的加速度为：

其中，Flove 是爱情引力。可以看出，小球将做变加速运动。事实上，这两个小球会一直振动下去。为了简化，我们假设Flove 不变（实际上Flove 是会改变的，因为引力与距离有关），那么模型就退化成为了一个弹簧振子模型，小球做简谐运动

周期为：

可以看到，惯性魅力m 越小，振动周期也越小，即运动的频率越快。结合 牛顿运动定律中的内容，这说明：在一段恋爱关系中，惯性魅力m 大的一方处于主动一方。惯性魅力m 小的一方恋爱的感觉会更强烈，越容易出现小鹿乱撞的感觉。这就解释了为什么你在自己的男神/女神面前心会扑通乱跳，来回欢腾，可惜的是对方内心毫无波动甚至有些想笑。

上面我们将模型做了简化，但事实上，Flove 在这里是会改变的。此时，两个小球仍然会做振动，不过不再是简谐运动。这种情况下，求解此问题会变得更加复杂，这里我们使用 Mathematica 软件给出几组数值解。

▲ 用于模拟计算的参数分别为L=1，m1=m2=1，k1=k2=1，G=1

当距离太近时，两小球会相撞，说明近亲不能结婚在物理上也是有理论依据的！

▲ 另一组用于模拟计算的参数, L=1，m1=m2=1，k1=k2=1，G=0.01

当引力较小时，近似于简谐运动。

▲ G=0.01，k1=1，k2=5，m1=m2=1，L=1

当两个人魅力值相当时，劲度系数小的被吸引的距离会更远，但劲度系数大的运动周期会更短。

▲ G=0.1，k1=k2=1，m1=1，m2=0.5，L=1

当引力较大时，可以看出此时已经不是简谐运动。

爱情摩擦力

两个物体接触面具有相对滑动趋势或已有相对滑动时，接触面上会产生阻碍相对运动趋势或阻碍相对滑动的力，这就是摩擦力。前者称为静摩擦力，后者称为滑动摩擦力。

固态物理间的静摩擦力大小是可变的，取决于受到的其他力的大小。但静摩擦力有上限。实验表明，最大静摩擦力与两物体接触面间的法向弹力（例如正压力与支持力）N 成正比，即

其中，μs 是静摩擦因数。

固态物体间的滑动摩擦力是一个定值，大小f 与N 成正比，有

其中，μk 为滑动摩擦因数。一般来说，μs 大于μk 。

▲ 动摩擦力与静摩擦力关系示意图。图片来自 Doug Davis

这告诉我们：爱情中的两个人无法避免地会发生摩擦，如果你对对方施加的压力越大，那么你们之间的摩擦力也就越大。摩擦力越大，恋爱动能耗散也就越大。这说明了吵架与摩擦，会让彼此的感情消磨衰减。

总结一下：在经典力学下，爱情是一种相互作用力，其形式与万有引力类似，由此我们得到了爱情运动三定律、异地感情衰减定律、爱情胡克定律等，解释了为什么单身狗会一直单身、为什么大家在男神女神面前都愿意做癞皮狗、异地恋为什么分手快等现象。最终，我们发现，这些物理规律揭示了爱情残酷的真相。理论上，单身狗基本上是没救了，但情侣们也不要高兴得太早，因为你们迟早也会回到最稳定的基态——单身态！