凯利公式 @    约翰·凯利

约翰·凯利（1923—1965年）是物理学博士。他和香农同在著名的贝尔实验室任职。

他那篇论文题目原本叫作《信息理论与赌博》，1956年发表，发表时考虑公众影响改名为《信息率的一种新解释》。

公式起源于凯利对信息噪音的研究，同属于香农的信息论理论范畴。具体理论深奥，与咱们投资领域无关。

老唐举个简单的例子来帮助理解信息噪音。

信息的传递是有噪音的，比如你收到一条信息，内容是“索普没有偷你的钱”。

这句话要传达的真实信息，可能是以下任何一种：

①索普没有偷你的“钱”——他偷的是你的手表。

②索普没有偷“你”的钱——他偷的是老唐的钱。

③索普没有“偷”你的钱——他只是拿走了属于他的那部分。

④索普“没有”偷你的钱——所以你的钱还在原处。

⑤“索普”没有偷你的钱——是其他人偷的。

……凯利由此联想到一个数学命题：假设在赌场、赛马场或者股市，有个内线经常给你传递内幕消息。但一者由于内幕消息不能保证100%正确，二者在消息传递过程中或许会因噪音发生误解（就像巴鲁克那位买入联合煤气的美女亲戚），

那么，赌徒收到内幕消息后，应该如何下注，才能既保证最大化地赢钱，又能防止因连续多次运气不好而输光赌本呢？

在香农教授长途电话噪音问题的研究基础上，凯利最终推导出著名的凯利公式。

公式为：f=（bp-q）/b。其中，f就是需要计算的最优下注比例，b为赔率，p为胜率，q为败率=1-p。在这个公式指导下，一个胜率51%，赔率为1∶1的赌局，每次下注比例为（1×51%-49%）/1=2%。举个简化的错误定价游戏。

一个公平的抛硬币游戏，正反面出现的概率均为50%，即p=50%，q=1-p=50%。

如果此时有个赌局，开出的赔率为2∶1，即正面朝上你赢2元（含本金拿回3元），反面朝上你输1元，b=2。

很显然，参与这个游戏具备显著的胜率优势，但是赌徒每次应该拿多少钱下注呢？凯利公式的答案是每次拿出全部资金的25%下注，可以在保证永远不会出局的前提下，获得最大化盈利。

计算过程：f=（bp-q）/b=（2×50%-50%）/2=25%。索普的研究成果，解决了如何取得相对于庄家的胜率优势，而凯利公式则解决了在不同优势胜率下的最优下注比例问题。

通过凯利公式我们可以发现，有些赌局一分钱都不应该投。比如b≤0的，公式无法计算。什么是b≤0呢？简单一点说，就是正面他赢，反面你输的游戏。

赌桌上不会有这种游戏，但证券市场很常见，而且参与者众。再比如同样是抛硬币，胜率还是50%，如果赌局开的赔率是0.9∶1，即正面朝上拿回1.9元，反面朝上输1元。根据凯利公式计算结果，下注比例f=（0.9×50%-50%）÷0.9×100%=-5.56%，f小于零，不参与。

相反，如果胜率100%的游戏，赔率只要大于零，无论多小，都应该下注所有资金。因为f=（b×100%-0）÷b×100%=100%。

《巴芒演义》--BY唐书房唐朝

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