《下学葊算书》之三角恒等式证明及第四术
《下学葊算书》之三角恒等式证明及第四术
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着之《下学葊算书二》，主要介绍该书之“第三四术”，此乃恒等式之証明。“第四术”为三边之加减术语。
关键词：股弦较 股弦和 磬折形 加减
第 1 节 勾股六术之第三术
以下之题取自清‧项名达着之《下学葊算书三种‧勾股六术》之第三术。
若直角三角形之弦 = c，勾 = a，股 = b，以下各题皆用此三数。
第三术
凡股弦较、股弦和相乘方，其积与勾自乘方等。勾弦较、勾弦和相乘方，其积与股自乘方等。何也？
解：
本题含以下两问：
1. 题意指若股弦较 = (c – b)，股弦和 = (c+ b)，证明(c – b)(c + b) = a2。右方是为勾自乘方。
2. 又若勾弦较 = (c – a)，勾弦和 = (c+ a)，证明(c – a)(c + a) = b2。右方是为股自乘方。
以上两题之证明十分简单，只要展开左方之两项，再以勾股定理化简，即可得右方。
1. (c – b)(c + b) = c2– b2 = a2。
2. (c – a)(c + a) = c2– a2 = b2。
但如果要以图证明，亦非难事，项名达所采用之图法证明亦容易明白，其图如下：
弦方股方差图：
〈弦方股方差图〉之主要部分为勾股形之弦平方 ABDC，在其右下角画股之平方 GBFE，延长GE 至 K，交 DC 于 H，取 HD = HK = b。延长AC 至 J，取 CJ = b，连 JK。容易证明长方形 CHKJ 全等于长方形EFDH。
《下学葊算书》曰：
盖弦方内，原兼有一勾方、一股方，故减股方余为勾方，减勾方余为股方。如图。设甲乙为弦﹝甲丙等﹞，庚乙为股﹝己乙等﹞，于甲乙丙丁弦方内，减庚乙戊己股方，余甲庚丙戊丁己磬折形，必与勾方等积。
其意指AB 为勾股形之弦 = c，ABDC 为弦方 c2，所以 AB = AC。又 GB 为股 =b，GBFE 为股方 b2。因为弦方内减股方得勾方，即 c2 – b2= a2，但依上图可知，正方形ABDC减去正方形 GBFE 余下一“磬折形”AGEFDC ，所以“磬折形”﹝即今之所谓“曲尺形”﹞AGEFDC = a2。
所谓“磬”乃古代一种兵器，形状像曲尺，用玉、石制成，可悬挂身上。
《下学葊算书》又曰：
若以磬折形内戊己辛丁长方，移至丙辛壬癸位，则磬折形易为甲庚壬癸长方，其阔甲庚，即股弦较﹝庚乙股减甲乙弦，余甲庚即股弦较﹞，其长边甲壬即股弦和﹝丙壬即丁辛亦即庚乙皆为股，加甲丙弦得甲壬即股弦和﹞，此长方亦必与勾方等积，故以勾自乘为勾方，即可为甲壬庚癸长方。
今将“曲尺形”AGEFDC 下方之长方形 EFDH 转移至 CHKJ，因为CH = AG = c – b，HE = GH – GE = c – b，所以 HE = HC，又 GB = HD = HK = b，是为股之长。经此转移，“曲尺形”AGEFDC = 长方形 AGKJ = a2。
从上图可知，长方形 AGKJ = AG × GK = a2。
AG = c – b，GK = c + b，代入上式即可得 (c – b)(c + b) = a2。
证毕。
《下学葊算书》曰：
在有较求和者，则以甲庚股弦较除之，而得甲壬股弦和。在有和求较者，则以甲壬股弦和除之，而得甲庚股弦较也。
以上文意指：若已知勾股形之勾方及股弦较，可求其股弦和。又若已知勾股形之勾方及股弦和，则可求其股弦较，见下文。
《下学葊算书‧第三术‧第一题》曰：
有勾、有股弦较，求股弦。
法以勾自乘为实，股弦较为法，除之，得股弦和。和较相加，折半为弦；相减折半为般。
“实”指分子或被除数，“法”指分母或除数。
今设 a、b及 c 为未知数，其他为已知数。今已知勾及股弦较，设 a = p ，c – b = q，求股弦和 c + b。
勾自乘为实即p2。股弦较 q为法。
因为 (c – b)(c +b) = a2 = p2。即：
q(c + b) = p2。
可得股弦和为 c + b =
。
即可知 c =
(
+ q) =
(p2 + q2) 。
b =
(
– q) =
(p2 – q2) 。
又若已知勾方及股弦和，求股弦较。
《下学葊算书‧第三术‧第二题》曰：
有勾、有股弦和，求股弦。
法以勾自乘为实，股弦和为法，除之，得股弦较。和较相加折半为弦，相减半为股。
又设 a = p ，c + b = r，求股弦较 c – b。
因为 (c – b)(c +b) = a2 = p2。
r(c – b) = p2
可得股弦较为 c – b =
。
即可知 c =
( r +
) =
(r2+ p2) 。
b =
( r –
) =
(r2– p2) 。
以上之算法可参阅以上之算法。
《下学葊算书》亦指出若GB非股而为勾，情况与证明法步骤与上相同，只是更股而为勾，其文曰：
设甲乙为弦，庚乙为勾，则磬折形所易之长方，必与股方等积，其阔边甲庚，即勾弦较；长边甲壬，即勾弦和，故以股自乘为股方，即可为甲庚壬癸长方。较求和，以甲庚勾弦较除之，而得甲壬勾弦和。和求较，以甲壬勾弦和除之，而得甲庚勾弦较，同一理也。
弦方勾方差图：
从上图可知：
c2– a2 = b2 = 正方形ABDC – 正方形GBFE
=曲尺形 AGEFDC。
将长方形EFDH补成另一长方形 CHKJ，于是：
曲尺形 AGEFDC = 长方形 AGKJ = AG × GK = (c – a)(c + a)
比较两曲尺形 AGEFDC 之面积表达法，即可得 (c – a)(c +a) = b2。
别证法：
已知 (c – b)(c + b) = a2
则 c2 – b2= a2
移项可得 c2 – a2 = b2
左方分解因式即可得 (c – a)(c +a) = b2。即证其一即可证其二。
《下学葊算书‧第三术‧第三题》曰：
有股有勾弦较，求勾、弦。
法以股自乘为实，勾弦较为法除之，得勾弦和。和较相加折半为弦，相减折半为勾。
今设 a、b及 c 为未知数，其他为已知数。今已知股及勾弦较，又设 b = s ，c – a = t，先求勾弦和 c + a。
股自乘为实即s2。勾弦较 t为法。
因为 (c – a)(c +a) = b2 = s2。即：
t(c + a) = s2。
可得勾弦和为 c + a =
。
即可知 c =
(
+ t) =
(s2 + t2) 。
a =
(
– t) =
(s2 – t2) 。
《下学葊算书‧第三术‧第四题》曰：
有股有勾弦和，求勾、弦。
法以股自乘为实，勾弦和为法除之，得勾弦较。和较相加折半为弦，相减折半为勾。
今已知股及勾弦和，又设 b = s ，c + a = u，先求勾弦较 c – a。
股自乘为实即s2。勾弦和 u为法。
因为 (c – a)(c +a) = b2 = s2。即：
u(c – a) = s2。
可得勾弦较为 c – a =
。
即可知 c =
(u +
) =
(u2+ s2) 。
a =
(u –
) =
(u2 – s2) 。
第 2 节 勾股六术之第四术
第四术与第五术
是两术本同一理，故可合论。又须先明加减，而后乘除等积之故，显然易明，故首论“加减”。
此处之所谓“加减”，乃指勾股形三边之加与减，为方便起见，本文以代数法证明﹝原文以图证﹞。依本文所用之符号，直角三角形之弦 = c，勾 = a，股 = b。
《下学葊算书三种‧勾股六术》之“加减”计有以下四种情形：
1. X和和 --- X指勾或股或弦之长，第二个和字指余下两边之和，第三个和字指余下两边之和与X之和。
2. X和较 --- X指勾或股或弦之长，第二个和字指余下两边之和，第三个和字指余下两边之和与X之差。
3. X较和 --- X指勾或股或弦之长，第二个较字指余下两边之差，第三个和字指余下两边之差与X之和。
4. X较较 --- X指勾或股或弦之长，第二个较字指余下两边之差，第三个较字指余下两边之差与X之差。
注意经加减后所有之数皆仍为正数。
﹝一﹞弦和较，即勾较较、股较较，何也？
弦 = c，和指勾 + 股 = a + b。所以弦和较 = (a+ b) – c = a + b – c。
勾 = a，较指弦 – 股 = c – b。所以勾较较 = a – (c– b) = a + b – c。
股 = b，较指弦 – 勾 = c – a。所以股较较 = b – (c– a) = a + b – c。
所以弦和较= 勾较较 = 股较较。
﹝二﹞弦和和即勾和和、股和和，何也？
弦 = c，和指勾 + 股 = a + b。所以弦和和 = (a+ b) + c = a + b + c。
勾 = a，和指弦 + 股 = c + b。所以勾和和 = (c + b) + a = a + b + c。
股 = b，和指弦 + 勾 = c + a。所以股和和= (c + a) + b = a + b+ c。
所以弦和和= 勾和和 = 股和和。
﹝三﹞弦较较即勾较和、股和较，何也？
弦 = c，较指股 – 勾 = b– a。所以弦较较 = c – (b – a) = a – b + c。
勾 = a，较指弦 – 股 = c – b。所以勾较和 = (c – b) + a = a – b + c。
股 = b，和指弦 + 勾 = c + a。所以股和较= (c + a) – b = a – b+ c。
所以弦较较 = 勾较和 = 股和较。
以下为《下学葊算书》原文：