初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。
一、等腰三角形的概念
1. 定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。
2. 性质
（1） 等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）
（2） 等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。
（3） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定
（1） 两内角相等的三角形叫做等腰三角形
（2） 两个边相等的三角形叫做等腰三角形
二、等边三角形
1. 定义
三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 性质
（1） 等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴
（2） 等边三角形三个角相等，每个角都为60º
（3） 等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形
（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形
（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形
1. 定义
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
2. 性质
（1） 直角三角形两个锐角互余
（2） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（3） 直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半
（4） 勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）
3. 判定
（1） 有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。
（2） 一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
（3） 勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形
四、基础题型
1. 例题1
如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？
解：连接DE，
因为：EF⊥AC，∠C=60º
所以∠FEC=30º,
因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线
所以有：
2. 考察知识点
（1）等边三角形及内角为60º
（2）三角形中位线
（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半
（4）直角三角形勾股定理
3. 解题思路和技巧
DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。
因为目前只学了等腰、等边、直角三角形，因此要解出一个线段DG的长度需要以下知识
（1） 等腰三角形
（2） 等边三角形
（3） 直角三角形
（4） 直角三角形斜边中线等于斜边的一半
（5）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
最后通过分析角的关系，可以得出DG在直角三角形内
总结：构筑辅助线是解决一些问题的关键
五、综合题型
1. 解法1
（1） 求解过程
把ΔAEC绕A点顺时针旋转60度，AC与AB重合AE与AF重合，连接FD，做FG⊥BC，交BC于G点,AH⊥BC，交BC于G点。
因为： ，∠BAC=120º,AB=AC
所以∠ABC=∠ACB=30º
因为：ΔAFB≌ΔAEC
所以：AF=AE，∠ABC=∠ABF=30º，∠FBG=60º,∠FAD =60º
因为 ：
AF=AE,，AD=AD，∠FAD==∠DAE= 60º
所以ΔADF≌ΔADE
所以： DF=DE
设FB=EC=2X
则BG=X BD=4X
（2）考察知识点
1) 等腰三角形
2) 图像的旋转
3) 直角三角形及勾股定理
4) 直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半
5) 直角三角形勾股定理
6) 三角形全等
（3）解题思路和技巧
DE在ΔADE中，但是三边关系无法确定，题目中给出了角度的关系，因此利用角度关系重组三角形是思路，然后再利用三角形全等，直角三角形等解出线段DE的长度。
通过旋转图形、移动图形、折叠图形是最常用的图形组合方法，我们尝试用旋转图形法解决问题，
总结：通过移动图形、旋转图形、折叠图形进行图形组合，从而解决问题是常用的方法，应该熟练掌握。
2. 解法2
旋转ΔABD进行解题
3.解法3
沿AD折叠ΔABD解题
上述两种方法请读者自行尝试解题，不再叙述。