网红题——“角格点”完全分类
网上可以看到了很多这样的平面几何题：一个简单的图里标出了几个角度，让求另外一个角。比如下面这些：
这些题看上去都不复杂，但稍微思考一下也会发现它们并不平凡。平面几何爱好者们给这类问题起了个形象的名字——“角格点”。“角格点”问题都可以用角元塞瓦定理强行计算出来，最终会归结为一些三角函数恒等式。这种方法缺乏美感，而且往往都是先猜出答案再去凑过程，感觉没有触碰到本质。我查了一些资料后发现，“角格点”问题起源于一位英国数学老师Edward Mann Langley。1922年，他在自己创办的数学教育杂志The Mathematical Gazette里面给出了以下问题：
这里写一个简单的平面几何做法：
在
上取一个点
，使得
，连
,
。结合图中已经给出的角度可以计算出
,
,
,
。于是
,
,
，所以
。根据
,
，得知
是等边三角形。所以
,
，所以
,
。于是
，所以
。
反观上面这个方法，可以发现它依赖于每个角具体的度数。假如把题目中的
,
分别改成
,
，同样的方法就不再适用了。而且我们也不敢说此时
仍是一个整数度的角。如果用角元塞瓦定理计算此时的
，可以证明它不是有理数（本文说角是有理数指的是有理数倍的
）。这说明并不是随便写几个角度，都能构成一个“角格点”问题。事实上，目前“角格点”问题已经被完全分类了，下面就要介绍如何分类“角格点”。
首先需要严格定义“角格点”。通过观察上面贴出的许多“角格点”问题可以发现，每个“角格点”问题都属于以下三种形式中的一种：
它们有一个共同的描述方法：
已知
和
的全部内角，并且都是有理数。求
与某个其他线段的夹角。
为了使其成为好的“角格点”问题，?处的角度也需要是有理数，于是图中所有的角都是有理数。因此我们给“角格点”如下定义：
如果平面上4个点之间形成的所有角都是有理数，就称这4个点为“角格点”。
首先我们要通过一些辅助线，将分类“角格点”转换为一个数论问题。该想法源自一位网名为aerile_re的日本女性，后来被称为“三外心方法”[1]。
假设
是“角格点”。先取
和
的外心
和
，再取
的外心
，然后将
绕
旋转到
，将
绕
旋转到
。利用外心的性质可以知道折线
的每一段长度都相等，并且相邻线段的夹角均为有理数，
和
,
的夹角也都是有理数。利用
是
的外心还可以得到
,
,
之间的关系。
后文中我们将
定义为把射线
绕
逆时针旋转到与射线
重合的位置所转过的角度，并且角的相等指的是
后相等。简单的思考可以得出以下结论：
折线
能够按图中方式反向构造“角格点”的充分必要条件是：
1、闭折线
中相邻线段的夹角都是有理数；
2、
；
3、
.
有理数角度和等长线段让我们联想到单位根。如果将图放到复平面里，把
定为原点，
定为实轴，
定为单位长度，把向量
对应的复数分别记为
。则上面的三个性质等价于：
1、
都是单位根；
2、
是实数；
3、
.
这是个不定方程，我们把满足上述方程的6元有序对称为一个“格点组”。在解方程之前先思考一下“格点组”和“角格点”之间的对应关系。它们并不是一对一的。在“角格点”的定义中，
地位相同。但从
构造
的过程中，对
的待遇不公平。如果将图中
的标签重新排列，而不改变构造
的过程，最后得到的折线并不全等，因此得到的“格点组”
也不同，但它们会给出相同的“角格点”。
通过冗长乏味的导角可以发现，
的24种置换对
产生的影响都不同，例如交换
后得到的“格点组”是
。除此之外，改变“角格点”的定向又会得到24个新的“格点组”。因此每个角格点会对应48个“格点组”。
另一方面，如果
是“格点组”，通过对其中某几个项取负共轭、做适当置换或是整体去负，一共可以得到1440个本质相同的“格点组”。因此每个“格点组”都对应
个本质相同但可能不全等的“角格点”。
下面介绍如何解这个不定方程。我们先把目光集中到2，2可以等价地改写为：
2'、
等式左边是12个单位根的和，右边是0。如何让若干个单位根的和是0，这个问题已经有人研究过了[2]，这里只给出大概想法和结论。
我们将形如
（每个
都是单位根）的等式称为一个“关系”，如果一个“关系”内不包含其他任何“关系”，即不存在
的子集使得和为0，我们就称这个关系为“极小关系”。每个“关系”旋转任意有理数角度（即乘一个单位根）或整体取共轭后仍然是一个“关系”，我们把这样的两个“关系”叫做等价的。根据分圆多项式的不可约性，我们得知对于素数
，
是“极小关系”，其中
。容易归纳证明，每个“关系”都是若干个“极小关系”的和。于是我们只需要找到所有单位根数量不超过12的“极小关系”即可。这个过程是困难且枯燥的，这里直接说结论。
在描述结论之前需要先介绍一些记号。将上面提到的素数分圆多项式构成的“关系”
记为
。如果
和
都是“关系”，而且
中单位根的数量不超过
。更进一步，如果还可以将每个
适当地旋转得到
，使得每个
都和
恰有一个公共单位根，并且每个
和
的公共单位根都不同，我们就可以用
减去
得到一个新的“关系”，记为
。如果
全部相同，可以把
简记为
。要注意到，上面的操作中选择不同的旋转有可能得到不等价的“关系”，即
表示的是一类“关系”，不是一个特定的“关系”。举个例子，
和
都属于
这一类，但不等价。
结论：单位根数量不超过12的“极小关系”一共有107种，并且都可以从
出发反复利用上述操作得到。具体见下表。
表格左边这列表示“关系”中含有的单位根数量，右边这列表示该类“关系”的总个数。
下面这个表列出了所有单位根数量为12的“关系”类型。
有了这个结论，就已经把“格点组”限制在有限多种情况里了，之后只需挑出满足那3个条件的。该过程可以由计算机暴力枚举完成[2]。
最后的工作就是画出所有“格点组”对应的折线
，然后复原“角格点”。之前提到了每个“格点组”都对应30个本质相同的“角格点”，它们几何上的关系如下图所示：
图中的
有以下70种取值：
1、
第1种所属“关系”类型为
2、
第2种所属“关系”类型为
3、
4、
5、
第3~5种所属“关系”类型为
6、
7、
8、
9、
10、
11、
12、
13、
14、
15、
16、
第6~16种所属“关系”类型为
17、
18、
19、
20、
第17~20种所属“关系”类型为
21、
22、
23、
24、
25、
26、
27、
28、
第21~28种所属“关系”类型为
29、
30、
31、
32、
33、
34、
35、
36、
37、
38、
39、
40、
41、
42、
43、
44、
第29~44种所属“关系”类型为
45、
46、
47、
48、
49、
50、
51、
52、
第45~52种所属“关系”类型为
53、
54、
55、
56、
57、
58、
第53~58种所属“关系”类型为
59、
60、
61、
62、
63、
64、
65、
66、
第59~66种所属“关系”类型为
67、
68、
69、
70、
第67~70种所属“关系”类型为
至此，“角格点”分类完成。
对于一些平面几何爱好者来说，“角格点”的分类虽然在逻辑上彻底解决了“角格点”问题，但缺乏平面几何的美感。文章的最后就介绍一种可以解决所有“角格点”问题的平面几何方法，即上文提到的“三外心方法”。思路是把用
构造“关系”的过程翻译成平面几何语言，再整合到“三外心方法”的图中[1]。
这里举一个具体的例子来展示这种思想：
我们可以站在上帝视角判断出上图的“角格点”为第69种，并且对应第9行第2个图。因此答案是
。它所属的“关系”类型为
，对应的“格点组”是
。接下来我们将用平面几何方法直接构造出上面的“角格点”，于是也就证明了
是正确答案。
首先按下图所示的方式画1个正七边形、1个正五边形和2个正三角形，并关注其中的绿色线段，它们构成了一条闭折线。这条闭折线是上下对称的，而且任意两个相邻线段的夹角都可以简单计算出来。
图中给每个线段标了号，将它们按下图方式重新排列但不改变每条线段的方向，可以得到另一条上下对称的闭折线，而且任意两个相邻线段的夹角仍然可以简单计算出来。至于为什么是上下对称的，稍微思考一下即可理解（原先对称的线段在重新排列后仍是对称的）。
我们舍弃上半部分，只看下半部分：
图中的角度分别为：
然后用折线
反向构造出“角格点”：
将
绕
点旋转到
，根据之前得到的那些角度可以计算出
，于是
。以
为圆心
为半径作圆，再以
为圆心
为半径作圆，设两圆除
外的另一个交点是
。那么
是
的外心，
是
的外心，
是
的外心。利用外心相关的角度关系，可以计算出：
故我们构造出的“角格点”就是题目中的“角格点”。
至此，我们用平面几何证明了上面那题的答案是
。
参考
^ab斉藤 浩, 初等幾何で整角四角形を完全制覇 ^abBjorn Poonen and Michael Rubinstein, The Number of Intersection Points Made by The Diagonals of A Regular Polygon