无法割舍——几何代数视角下的功与力矩丨贤说八道
力做功，力还产生力矩，但是力是怎么分清楚这两份工作的？如果力自己都做不到，那我该怎么办？我上初中时就觉得这地方有点儿不对劲，但是我们的中学、大学、研究生的物理课本对此问题都视而不见。其实，当力矢量 F 遇上位移矢量 dx 的时候，那个乘法 Fdx 天然地就是几何积，而这样的学问是1870年代就有了的。我们的中学生都能明白，只是没有人教。
I am not and grieve not.
——克利福德的墓志铭
疑 惑
我初中二年级时开始有了物理课，从力学 (theory of force) 入手，往后在大学到研究生阶段又学了各种力学 (mechanics)，以及一些动力学 (dynamics) 的理论。这么说吧，力估计是人们学物理结识的第一个对象。力的概念来自一种生理学的感知，提、拉、拽、扔都会让手臂有紧张感，你就感觉到力的存在了。力，被当作一个重要的物理因素率先进入人类的认知活动。亚里士多德说力是造成运动的原因，你不费力拉车，那车子就不动弹。伽利略说不对，一个物体没有外力它能一直保持原来的状态，照样往前运动，力是运动被改变的原因。牛顿说再具体一点儿吧，让力与速度被改变的剧烈程度，即加速度，成正比吧，于是有了牛顿第二定律
。到了牛顿第二定律这儿，微分的概念就是必须的了。牛顿发明了微积分，首先是自己要用。这是1680年前后的事儿。
力，作为一个物理因素，它作用的效果是和作用过程相关联的。比如，将牛顿第二定律
改写成
这样的积分形式，即有
，将力对时间的积分
当作一个物理量，名为冲量，这个公式可以诠释为物体受到的冲量等于动量 p=mv 的改变。但是用力既可以表现为对被作用物体陪伴了一段时刻，也可以表现为对被作用物体陪伴了一段路程。公式
可改造成
的形式，其中
，将力对位移的积分
当作一个物理量，名之为功W，这个公式可以诠释为力对物体的做功等于动能
的改变。注意，这里有个坑，上述积分
考虑的是一维空间的情形。在二维、三维空间里，Fdx 应该有什么数学？或者说，一般地，Fdx 所表达的力 F 这个矢量同位移 dx 这个矢量之间的乘积是什么样的乘积？
在有牛顿微积分之前，关于力与位移如何耦合的问题，是有讨论的。作为物理初步的杠杆平衡问题一般是这样的：有一个杆，一个支点将其分成两侧，在两侧各施加一个力，当两边的力同支点到该力的垂直距离之积相等时，
，杠杆达到平衡。注意，在公式
中，力同支点到力的距离之间的积，就是 2×3.14=6.28 这样的算术积。在我们日常使用杆秤和天平的情形中，因为重力总是向下的，而平的状态 (物理判据是水平面) 本身就是由是否与重力垂直所决定的，因此平衡时力同支点到着力点的距离相垂直是自动得到保障的 (图1)。这样，平衡条件
里使用算术乘积才就稀里糊涂糊弄过去了。
然而，对于天平、杆秤来说，平衡是测度为零的事件，是例外而非常态，更多的时候体系会被弄得围绕着支点转了起来。那么，这个一般情况下施压加一个力所产生的、与平衡或者转动有关的物理效应该怎么描述呢？为此，教科书里突然就冒出来了力矩的概念，M=r×F ，并且强调 r 是参照点到着力点的空间矢量，× 这个乘法与 2×3.14=6.28 中的算术积不同了，叫叉乘 (cross product)，乘出来的这个结果，力矩M，也是矢量，并且按照 r→F→M 的顺序构成右手定则。有许多高中、大学的教科书在那里努力阐述如何使用右手定则，却不去问这叉乘是个什么乘法、哪儿来的啊？又，r→F→M 构成右手定则，不对啊，在平面里可没有什么右手定则，力加到恰当的地方一样引起转动啊？
图1. 天平与杆秤
力矩 M=r×F 引出了一种力和距离的乘法，那么做功呢？为了表示力陪伴一定距离所做的功，人们引入了新的乘法，
，这里 dx 是多维空间里的位移矢量， F·dx 之间的乘法被称为标量积，有些地方又叫点乘、内积 (这儿有点乱)。这下子，问题好像清楚了：“力矢量和位移矢量之间有两种乘积，点乘和叉乘，点乘同做功有关，而叉乘同力矩有关。用哪个，看你考虑什么问题。” 可是，不对啊，力怎么知道什么情况下做功什么情况下产生力矩 (图2)，什么情况下该点乘什么情况下该差乘啊？这个问题让我从中学起一直很困惑。让我更困惑的是，那些大学教科书给我的印象是编者们一点儿都不困惑，这让我很自卑。我一直小心翼翼地把这个困惑藏在心里。我教过某些大学本科的力学辅导课，给某大学力学教研室的教授们讲过如何讲经典力学，但我也忍着不提这茬儿。昨天，我忍不住了。
图2. 这推的人是在做功呢还是在产生力矩呢？
其实，相关的内容，严谨的内容、成体系的内容，在1840年代就初步成型了。到了1878年，Applications of Grassmann's extensive algebra 一文横空出世，类似力与位移矢量乘法的问题不仅没有了身份不同的问题，没了空间维度的限制，还有了除法！要是学会了的话，接下来去学经典力学、电动力学、量子力学、相对论和规范场论还感觉畅通无阻呢。意外不？
外积、内积与标量积、矢量积与点乘、叉乘
外积、内积的概念来自德国中学老师格拉斯曼 (Hermann Graßmann, 1809-1877)，一开始是关于线段之间的乘积。设想正方形是由两条线段张开的，面积等于 S=aa 。若把思想扩展一下，线段是有取向的，而平行四边形也是由两个线段张开的，这两个有方向的线段的乘积不就决定了这个平行四边形的面积和取向？于是，格拉斯曼定义了两矢量的外积 (exterior product, outer product)，a∧b ，这个乘法满足反对称性，a∧b=-b∧a ，其结果是个二矢量 (bivector)，比矢量高一个层次, 可从几何上理解为面是比线高一个层次的存在。然而面积与取向并不能完全确定这个平行四边形。格拉斯曼还注意到，当一个线段从另一个共点的线段上出发，扫过一个角度去张开一个平行四边形时，它在另一个线段上的投影也一直在变——从出发处的整个长度变为相互垂直时的0。这个投影与投影在其上的线段之积显然是一种新的积，一种对称的乘积(interior product, inner product)， a·b=b·a (图3)。外积出现于内积之前。
图3. 量矢量的内积与外积
可以从共点的两线段从重合时将其一逐渐打开张成一个平行四边形的过程来看外积和内积。外积对应所张的有取向的平行四边形的面积，为交换反对称的，过程开始时对应的外积为0。内积为两线段之一与另一者在其上投影的乘积，过程开始时应取极大值，为交换对称的。内积为0是两线段 (矢量) 垂直的判据；外积为0是两线段 (矢量) 平行的判据。
当然了，有了矢量和矢量的外积，可以构造任意的多矢量 (multivector)，对它们可定义内积、外积、递归积，还可以求补，等等。这套算法适应任意维的矢量空间。这是把思想从三维空间拓展到任意空间，把算法从简单的算术乘法拓展到各种几何乘积的结果，所以格拉斯曼把他的学问称为Ausdehnungslehre (扩展的学问)，第一本书于1844年出版。不过，结局是直到格拉斯曼去世，该门-学问几乎无人喝彩。格拉斯曼后来愤而把时间专注于语言学研究。
几乎与此同时， 1843年英国人哈密顿 (1805-1865) 为了描述三维空间的转动 (与力矩相关) 而引入了四元数 q=a+xi+yj+zk ，其中 i2=j2=k2=-1，ij=-ji=k，他将其中的 a 称为标量 (scalar)，r=xi+yj+zk 称为三维空间矢量，由算法 i2=j2=k2=-1 ，ij=-ji=k 决定了这样的矢量空间里 x→y→z 方向构成右手定则。右手定则不是额外添加的定则，是算法本身！四元数有乘法，也有除法，结果还是一个四元数，一切都由 i2=j2=k2=-1 ，ij=-ji=k 所决定。那么我们会发现，矢量 r1 和 r2 ，作为标量部分为0的四元数，其四元数乘积 r1r2 的结果就包括标量和矢量两部分，所以就有了两个矢量之间的标量积 (scalar product) r1·r2 和矢量积 (vector product) r1×r2的说法。后来吉布斯 (Josiah Willard Gibbs，1839–1903) 他们生生地把两 (三维) 矢量的标量积和矢量积给割裂成了两个独立的乘积，标量积也叫点乘 (dot product)，而哈密顿的矢量积去掉前面的负号变成了叉乘 (cross product)。点乘和叉乘后来占据了物理教科书，这种把一个数学整体的两个部分当成独立的两个内容的作法，极大地伤害了物理学的表述。点乘、叉乘以及基于其上的矢量分析，按法国著名数学家丢多奈 (Jean Dieudonné, 1906–1992) 的说法，是那些毫无灵性的烂文人拿格拉斯曼和哈密顿的思想胡编乱造的 (which uninspired lacks concocted out his and Hamilton’s ideas)。丢多奈作为纯粹数学家对数学不严谨的矢量分析的厌恶之情溢于言表。
1878年，英国数学家克利福德将格拉斯曼的外代数和哈密度的四元数代数结合到一起，创立了几何代数 (geometric algebra)。在几何代数中，两个矢量的几何积定义为 ab=a·b+a∧b，其中 a·b 是格拉斯曼的内积， a∧b 是格拉斯曼的外积， 类似哈密顿的四元数乘法包含标量积和矢量积。但是，克利福德代数克服了四元数代数只适用于三维矢量空间的局限以及其中的一些错误认识，它适用于任意维空间，有除法。更重要的是，它发展了格拉斯曼的扩展的学问，对应任意n维矢量空间的克利福德代数是 2n-维的代数，而且具有强大的计算能力、紧致的表达能力。用它学习经典力学、电动力学、量子力学、相对论和规范场论，让人少了很多迷惑，推导的过程也简化许多。
而那个让我从中学时就疑惑不解的力到底是做功还是产生力矩的问题，也迎刃而解。当力矢量 F 和位移矢量 dx 相遇时，它们的积从一开始就天然地是几何积，Fdx=F·dx+F∧dx ，其中的内积项 F·dx 就是做功，而外积项 F∧dx 就和力矩有关(和 M=dx×F 之间还差个单位赝标量。感兴趣的读者请自行修习相关内容)。这两者，做功与产生力矩，不可割裂！
多余的话
作为一个当了25年学生和21年教授的人，关于教科书、教师以及学问，我多少有一些感慨。因为怕得罪人，也一直懒得说出来；可我又希望我们一代一代的少年别这么一直被耽误下去，所以忍不住还想说。那就少说两句吧。我觉得吧，作为教师，好学的姿态和不停地学的实践是起码的任职资格。作为一个教师，我想因为我的一直不学无术，我只欠世界半个道歉，而我若一直固步自封，那我就欠世界一个半道歉，毕竟不学无术可能事关天资不足，是可以自我原谅的，而固步自封那就纯属是思想问题了。
图4. 英国通才型学者克利福德
介绍几句克利福德吧，为了致敬。克利福德 (William Kingdon Clifford, 1845-1979)，一位物理学家+数学家+哲学家+作家型的通才 (polymath)， 一个路过人世仅仅34年的天才 (图4)。克利福德15岁考上伦敦国王学院和剑桥三一学院，26岁获聘数学与力学教授，29岁当选英国皇家学会会士。他在格拉斯曼 (Hermann Graßmann, 1809-1877) 之扩展的学问 (Ausdehnungslehre. 格拉斯曼在其中曾提出16种乘法) 基础上建立起了几何代数，即以他的姓名命名的克利福德代数。本文介绍的关于几何积的系统学问，源于他1878年发表的论文 (Applications of Grassmann's extensive algebra, American Journal of Mathematics 1(4), 350–358(1878))。克利福德是顶级的物理学家，他的《动力学原本》光看副标题就足以理解动力学的内涵。那个让爱因斯坦变得伟大的“引力是时空几何的表现”之思想也来自克利福德，他于1876年在“on the space-theory of matter”一文中已确立了广义相对论的主导思想。他在哲学论述中提出的mind-stuff (思维原料) 这一概念，可能震撼过很多人。人啊，长了个脑壳，最好抽空往里面也塞点儿mind-stuff.
顺便说一句，克利福德1875年结婚，婚后有两个孩子，他为孩子写了童话集 “the little people”。克利福德是为数不多的被自己的天才累垮了的人。
克利福德的墓碑上刻着：“I was not, and was conceived. I loved and did a little work. I am not and grieve not.”读来太过心酸，我就不翻译了。