中考数学压轴题分析：二次函数含参与隐圆最值问题

本文内容选自2020年天津中考数学压轴题。符合天津地区往年的中考命题规律，都是以含参二次函数为背景。（此类问题渐渐普及）

本文内容涉及与圆有关的最值问题，根据点N与C的距离为定值，可以得到点N的轨迹为圆。进而得到线段的最值。

此类问题关键在于阅读和运算，千万不要看到字母就害怕。

【中考真题】

（2020·天津）已知点是抛物线，，为常数，，与轴的一个交点．
（Ⅰ）当，时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与轴的另一个交点为，与轴的交点为，过点作直线平行于轴，是直线上的动点，是轴上的动点，．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求点的坐标；
②取的中点，当为何值时，的最小值是？
【分析】
题（1）直接代入得到函数解析式，根据顶点坐标公式得到结果。
题（2）①求点F的坐标，需要根据条件建立等量关系进行求解。那么就需要确定点E与点F的位置。
由于抛物线经过点A和M，则把点A和M的坐标代入到函数解析式中，然后用m表示函数解析式。再用m表示出点E和C的坐标，然后根据AE=EF求出点E的坐标，再求点F的坐标即可。
题（2）②根据点N为EF的中点，且EF为定值，可以得到点N的运动轨迹为以C为圆心EF的一半为半径的圆。当点E和M、C共线且位于MC之间的时候取最小值，也就是MC-EF令其等于再求出m。不过本题还需要分类讨论，因为有可能点M在圆内，因为MC可能小于半径的长度，此时点N位于MC的外侧且靠近点M，然后代入求出m的值。
【答案】解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为．
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的顶点坐标为．
（Ⅱ）①抛物线经过点和，，
，，即．
，．
抛物线的解析式为．
根据题意得，点，点，
过点作于点，由点，得点．

在中，，，
，
，
，
解得．
此时，点，点，有．
点在轴上，
在中，．
点的坐标为或．
②由是的中点，连接，，得．
根据题意，点在以点为圆心、为半径的圆上，
由点，点，得，，
在中，．
当，即时，满足条件的点在线段上．
的最小值为，解得；
当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，的最小值为，
解得．
当的值为或时，的最小值是．

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