中考数学几何模型之【半角模型】经典例题解析 / 开普饭

定义

半角模型是指：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。

由于两射线的夹角是正方形一个内角的一半，故名半角模型，又称“角含半角模型”。

其中，将45°角的两边及其对边围成的三角形称为“半角三角形”（即图中的△AEF）

半角模型的结论：

半角模型中射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。即：如图中，EF=BE+DF。

建立模型

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD.求证：EF=BE+DF.

分析：要证明一条线段等于两条线段的和，我们首先想到的是'截长补短'添加辅助线.如下图，在线段EF上截取EG=EB.

如果能证明线段GF=DF，则结论得证.而要证明两条线段相等，且两条线段不在同一个三角形中，可以尝试利用全等.即证明△ABE≌△AGE.通过尝试，我们发现很难证明这两个三角形全等，所以'截长'无法得到我们想要的结果.再试一试“补短”，延长CD至点G，使DG=EB.如下图：

此时若能证明FG=FE，则FE=FG=FD+DG=FD+BE.结论得证.

而要证明FE=FG，只需证明△AEF≌AGF即可.

证明：延长FD至点G，使DG=BE.易证△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.

∴∠EAF=1/2∠BAD=∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=∠GAF

又∵AF=AF，∴△EAF≌△GAF.∴EF=GF=DF+DG=DF+BE

反思：1、本题中的辅助线：延长DG=BE，也可以通过旋转来实现（实际上就是将三角形ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数）.需要指出的是，如果用旋转，需说明C、D、G三点共线（证明∠ADG+∠ADC=180°即可）.

2、题中有三个非常重要的元素：（1）∠EAF=1/2∠BAD（半角模型名称的由来）；（2）AB=AD. 共端点的两条线段相等，这点尤为关键，它为下一步的旋转提供了条件.当题中出现一个角等于另一角的一半，且共端点的线段相等时，常采用旋转，将分散的条件集中起来，为下一步的证明做好铺垫. （3）对角互补.由于对角互补的存在，通过旋转，两边的两个三角形可拼成一个大三角形，进而可证明三角形全等.

一、半角结构之90°与45°

先来看一道题目：

如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF=45°.求证：EF=BE+DF.

证明：

证明：∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD且∠ABE+∠ADF=180°

将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，此时点C、D、G三点共线.

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG. ∵∠EAF=45° ∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠GAF=45°

∴∠EAF=∠GAF. 又∵AF=AF.

∴△EAF≌△GAF.

∴EF=GF=DF+DG=DF+BE.

模型应用1：

如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°.BE=2cm,

DF=3cm.求正方形的边长.

分析：根据上题的结论可知EF=BE+DF=5.

设正方形的边长为x，那么CE=x-2，CF=x-3.

在Rt△CEF中，根据勾股定理得，CE^2+CF^2=EF^2，

即(x-2)^2+(x-3)^2=5^2，解得，x=6.

所以正方形的边长为6

以上的半角结构主要发生在四边形中，再次回顾半角结构中的重要元素：（1）半角（2）邻边相等（3）对角互补. 半角模型中经常通过旋转将分散的条件集中起来，进而通过三角形的全等进行证明.

在三角形中同样存在半角模型，下面以一道题为例来说明三角形中的半角模型.

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D，E是BC边上两点且∠DAE=45°

求证：BD^2+CE^2=DE^2

分析：看到这个结论，相信大部分同学首先想到的是勾股定理，但DE,BD,CE不在同一个三角形中.所以要想办法将它们集中在一个三角形里面，根据题中条件AB=AC，共端点的两条线段相等，可以尝试旋转.

证明：因为AB=AC，且∠BAC=90°.将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG. 如下图：

由旋转的性质可知，△ABD≌△ACG.

∴AD=AG，∠BAD=∠CAG，∠ABD=∠ACG=45°.

∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=∠CAG+∠EAC=45°

∴∠DAE=∠GAE

∴△DAE≌△GAE(SAS)

∴DE=GE

在Rt△GCE中

CE^2+CG^2=GE^2

∵BD=CG，DE=CG

∴BD^2+CE^2=DE^2

反思：对于本题，我们通过旋转将分散的条件集中起来，进而得到结论。观察证明过程我们可以发现△AEG其实也可以看作是将△AED沿AE折叠的结果.于是我们思考本题能不能通过折叠进行解决呢？

如图，将△ABD沿AD折叠，使点B落在点F处，连接EF.先证明△ACE≌△AFE，再证明△DFG为直角三角形，勾股定理即可得出结论.

模型拓展1：

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC的延长线上，且∠FAE=45°.试探究EF、BE、DF之间的数量关系，并证明.

分析：根据前面的证明我们知道，当∠EAF在正方形内部时，EF=BE+DF.观察图形可以发现，显然在本题中线段BE的长度大于线段EF的长度，所以EF=BE+DF不可能成立.是否可能是EF=BE-DF呢？不妨一试.根据上题积累的经验，特别是题中有AB=AD这一条件，为旋转埋下了伏笔.所以可将△ADF进行旋转.如下图：